Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32692 / 24085
↖ ↑ ↗
← N 42.984558°
W  0.417481°		 ← 446.86 m → N 42.984558°
W  0.411987°		 →
↑
446.86 m
↓
↑
446.86 m
↓
N 42.980540°
W  0.417481°		 ← 446.89 m →
199 692 m²		 N 42.980540°
W  0.411987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498847961425781 y=0.367515563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498847961425781 × 216)
    floor (0.498847961425781 × 65536)
    floor (32692.5)     		tx = 32692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367515563964844 × 216)
    floor (0.367515563964844 × 65536)
    floor (24085.5)     		ty = 24085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32692 / 24085 ti = "16/32692/24085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32692/24085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32692 ÷ 216
    32692 ÷ 65536     		x = 0.49884033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24085 ÷ 216
    24085 ÷ 65536     		y = 0.367507934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.0023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00728641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367507934570312 × 2 - 1) × π
    0.264984130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.832472198801895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00728641} λ = -0.00728641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832472198801895))-π/2
    2×atan(2.29899529399975)-π/2
    2×1.16050919686758-π/2
    2.32101839373517-1.57079632675     		φ = 0.75022207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00728641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.417481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75022207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.984558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32692 KachelY 24085 -0.00728641 0.75022207 -0.417481 42.984558
    Oben rechts KachelX + 1 32693 KachelY 24085 -0.00719053 0.75022207 -0.411987 42.984558
    Unten links KachelX 32692 KachelY + 1 24086 -0.00728641 0.75015193 -0.417481 42.980540
    Unten rechts KachelX + 1 32693 KachelY + 1 24086 -0.00719053 0.75015193 -0.411987 42.980540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75022207-0.75015193) × R
    7.01399999999408e-05 × 6371000     		dl = 446.861939999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75022207-0.75015193) × R
    7.01399999999408e-05 × 6371000     		dr = 446.861939999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00728641--0.00719053) × cos(0.75022207) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.731537479313977 × 6371000     		do = 446.860751914415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00728641--0.00719053) × cos(0.75015193) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.731585299052723 × 6371000     		du = 446.8899626726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75022207)-sin(0.75015193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731537479313977-0.731585299052723)×R²
    abs(-0.00719053--0.00728641)×4.78197387451251e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.78197387451251e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.78197387451251e-05×40589641000000     		ar = 199691.589179862m²