Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32690 / 24087
↖ ↑ ↗
← N 42.976521°
W  0.428467°		 ← 446.92 m → N 42.976521°
W  0.422973°		 →
↑
446.93 m
↓
↑
446.93 m
↓
N 42.972502°
W  0.428467°		 ← 446.95 m →
199 746 m²		 N 42.972502°
W  0.422973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498817443847656 y=0.367546081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498817443847656 × 216)
    floor (0.498817443847656 × 65536)
    floor (32690.5)     		tx = 32690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367546081542969 × 216)
    floor (0.367546081542969 × 65536)
    floor (24087.5)     		ty = 24087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32690 / 24087 ti = "16/32690/24087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32690/24087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32690 ÷ 216
    32690 ÷ 65536     		x = 0.498809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24087 ÷ 216
    24087 ÷ 65536     		y = 0.367538452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.00238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00747816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367538452148438 × 2 - 1) × π
    0.264923095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.832280451203415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00747816} λ = -0.00747816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832280451203415))-π/2
    2×atan(2.29855450943425)-π/2
    2×1.16043905700546-π/2
    2.32087811401093-1.57079632675     		φ = 0.75008179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00747816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.428467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75008179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.976521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32690 KachelY 24087 -0.00747816 0.75008179 -0.428467 42.976521
    Oben rechts KachelX + 1 32691 KachelY 24087 -0.00738228 0.75008179 -0.422973 42.976521
    Unten links KachelX 32690 KachelY + 1 24088 -0.00747816 0.75001164 -0.428467 42.972502
    Unten rechts KachelX + 1 32691 KachelY + 1 24088 -0.00738228 0.75001164 -0.422973 42.972502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75008179-0.75001164) × R
    7.01499999999911e-05 × 6371000     		dl = 446.925649999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75008179-0.75001164) × R
    7.01499999999911e-05 × 6371000     		dr = 446.925649999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00747816--0.00738228) × cos(0.75008179) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.731633115192346 × 6371000     		do = 446.919171232257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00747816--0.00738228) × cos(0.75001164) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.731680934549086 × 6371000     		du = 446.948381757095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75008179)-sin(0.75001164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731633115192346-0.731680934549086)×R²
    abs(-0.00738228--0.00747816)×4.78193567400309e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.78193567400309e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.78193567400309e-05×40589641000000     		ar = 199746.168648811m²