Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32690 / 23958
↖ ↑ ↗
← N 43.492783°
W  0.428467°		 ← 443.15 m → N 43.492783°
W  0.422973°		 →
↑
443.10 m
↓
↑
443.10 m
↓
N 43.488798°
W  0.428467°		 ← 443.18 m →
196 367 m²		 N 43.488798°
W  0.422973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498817443847656 y=0.365577697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498817443847656 × 216)
    floor (0.498817443847656 × 65536)
    floor (32690.5)     		tx = 32690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365577697753906 × 216)
    floor (0.365577697753906 × 65536)
    floor (23958.5)     		ty = 23958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32690 / 23958 ti = "16/32690/23958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32690/23958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32690 ÷ 216
    32690 ÷ 65536     		x = 0.498809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23958 ÷ 216
    23958 ÷ 65536     		y = 0.365570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.00238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00747816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365570068359375 × 2 - 1) × π
    0.26885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.844648171305389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00747816} λ = -0.00747816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.844648171305389))-π/2
    2×atan(2.3271589092403)-π/2
    2×1.16494429381785-π/2
    2.32988858763569-1.57079632675     		φ = 0.75909226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00747816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.428467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75909226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.492783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32690 KachelY 23958 -0.00747816 0.75909226 -0.428467 43.492783
    Oben rechts KachelX + 1 32691 KachelY 23958 -0.00738228 0.75909226 -0.422973 43.492783
    Unten links KachelX 32690 KachelY + 1 23959 -0.00747816 0.75902271 -0.428467 43.488798
    Unten rechts KachelX + 1 32691 KachelY + 1 23959 -0.00738228 0.75902271 -0.422973 43.488798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75909226-0.75902271) × R
    6.95499999999738e-05 × 6371000     		dl = 443.103049999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75909226-0.75902271) × R
    6.95499999999738e-05 × 6371000     		dr = 443.103049999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00747816--0.00738228) × cos(0.75909226) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.725461073578125 × 6371000     		do = 443.148970477588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00747816--0.00738228) × cos(0.75902271) × R
    9.58800000000004e-05 × 0.725508940528956 × 6371000     		du = 443.178210075347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75909226)-sin(0.75902271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725461073578125-0.725508940528956)×R²
    abs(-0.00738228--0.00747816)×4.78669508318097e-05×R²
    9.58800000000004e-05×4.78669508318097e-05×6371000²
    9.58800000000004e-05×4.78669508318097e-05×40589641000000     		ar = 196367.138579348m²