Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32689 / 23087
↖ ↑ ↗
← N 46.863947°
W  0.433960°		 ← 417.62 m → N 46.863947°
W  0.428467°		 →
↑
417.68 m
↓
↑
417.68 m
↓
N 46.860191°
W  0.433960°		 ← 417.65 m →
174 437 m²		 N 46.860191°
W  0.428467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498802185058594 y=0.352287292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498802185058594 × 216)
    floor (0.498802185058594 × 65536)
    floor (32689.5)     		tx = 32689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352287292480469 × 216)
    floor (0.352287292480469 × 65536)
    floor (23087.5)     		ty = 23087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32689 / 23087 ti = "16/32689/23087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32689/23087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32689 ÷ 216
    32689 ÷ 65536     		x = 0.498794555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23087 ÷ 216
    23087 ÷ 65536     		y = 0.352279663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498794555664062 × 2 - 1) × π
    -0.002410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00757403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352279663085938 × 2 - 1) × π
    0.295440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.928154250443527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00757403} λ = -0.00757403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928154250443527))-π/2
    2×atan(2.52983542304448)-π/2
    2×1.1943632512478-π/2
    2.3887265024956-1.57079632675     		φ = 0.81793018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00757403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.433960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81793018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.863947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32689 KachelY 23087 -0.00757403 0.81793018 -0.433960 46.863947
    Oben rechts KachelX + 1 32690 KachelY 23087 -0.00747816 0.81793018 -0.428467 46.863947
    Unten links KachelX 32689 KachelY + 1 23088 -0.00757403 0.81786462 -0.433960 46.860191
    Unten rechts KachelX + 1 32690 KachelY + 1 23088 -0.00747816 0.81786462 -0.428467 46.860191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81793018-0.81786462) × R
    6.5559999999909e-05 × 6371000     		dl = 417.68275999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81793018-0.81786462) × R
    6.5559999999909e-05 × 6371000     		dr = 417.68275999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00757403--0.00747816) × cos(0.81793018) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.683733085098216 × 6371000     		do = 417.615806322358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00757403--0.00747816) × cos(0.81786462) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.683780924871142 × 6371000     		du = 417.645026270581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81793018)-sin(0.81786462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683733085098216-0.683780924871142)×R²
    abs(-0.00747816--0.00757403)×4.78397729258839e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78397729258839e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78397729258839e-05×40589641000000     		ar = 174437.0250009m²