Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32683 / 21586
↖ ↑ ↗
← N 52.207607°
W  0.466919°		 ← 374.29 m → N 52.207607°
W  0.461426°		 →
↑
374.30 m
↓
↑
374.30 m
↓
N 52.204240°
W  0.466919°		 ← 374.32 m →
140 101 m²		 N 52.204240°
W  0.461426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498710632324219 y=0.329383850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498710632324219 × 216)
    floor (0.498710632324219 × 65536)
    floor (32683.5)     		tx = 32683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329383850097656 × 216)
    floor (0.329383850097656 × 65536)
    floor (21586.5)     		ty = 21586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32683 / 21586 ti = "16/32683/21586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32683/21586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32683 ÷ 216
    32683 ÷ 65536     		x = 0.498703002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21586 ÷ 216
    21586 ÷ 65536     		y = 0.329376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498703002929688 × 2 - 1) × π
    -0.002593994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00814927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329376220703125 × 2 - 1) × π
    0.34124755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07206082310294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00814927} λ = -0.00814927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07206082310294))-π/2
    2×atan(2.92139377645578)-π/2
    2×1.24099547890189-π/2
    2.48199095780378-1.57079632675     		φ = 0.91119463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00814927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.466919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91119463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.207607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32683 KachelY 21586 -0.00814927 0.91119463 -0.466919 52.207607
    Oben rechts KachelX + 1 32684 KachelY 21586 -0.00805340 0.91119463 -0.461426 52.207607
    Unten links KachelX 32683 KachelY + 1 21587 -0.00814927 0.91113588 -0.466919 52.204240
    Unten rechts KachelX + 1 32684 KachelY + 1 21587 -0.00805340 0.91113588 -0.461426 52.204240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91119463-0.91113588) × R
    5.87499999999963e-05 × 6371000     		dl = 374.296249999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91119463-0.91113588) × R
    5.87499999999963e-05 × 6371000     		dr = 374.296249999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00814927--0.00805340) × cos(0.91119463) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.612802146909845 × 6371000     		do = 374.292056762275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00814927--0.00805340) × cos(0.91113588) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.612848572239301 × 6371000     		du = 374.320412785725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91119463)-sin(0.91113588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612802146909845-0.612848572239301)×R²
    abs(-0.00805340--0.00814927)×4.64253294558681e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.64253294558681e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.64253294558681e-05×40589641000000     		ar = 140101.420067607m²