Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32682 / 23966
↖ ↑ ↗
← N 43.460894°
W  0.472412°		 ← 443.38 m → N 43.460894°
W  0.466919°		 →
↑
443.36 m
↓
↑
443.36 m
↓
N 43.456906°
W  0.472412°		 ← 443.41 m →
196 584 m²		 N 43.456906°
W  0.466919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498695373535156 y=0.365699768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498695373535156 × 216)
    floor (0.498695373535156 × 65536)
    floor (32682.5)     		tx = 32682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365699768066406 × 216)
    floor (0.365699768066406 × 65536)
    floor (23966.5)     		ty = 23966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32682 / 23966 ti = "16/32682/23966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32682/23966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32682 ÷ 216
    32682 ÷ 65536     		x = 0.498687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23966 ÷ 216
    23966 ÷ 65536     		y = 0.365692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.00262451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00824515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365692138671875 × 2 - 1) × π
    0.26861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.843881180911469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00824515} λ = -0.00824515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843881180911469))-π/2
    2×atan(2.32537468504066)-π/2
    2×1.16466600954968-π/2
    2.32933201909935-1.57079632675     		φ = 0.75853569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00824515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.472412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75853569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.460894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32682 KachelY 23966 -0.00824515 0.75853569 -0.472412 43.460894
    Oben rechts KachelX + 1 32683 KachelY 23966 -0.00814927 0.75853569 -0.466919 43.460894
    Unten links KachelX 32682 KachelY + 1 23967 -0.00824515 0.75846610 -0.472412 43.456906
    Unten rechts KachelX + 1 32683 KachelY + 1 23967 -0.00814927 0.75846610 -0.466919 43.456906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75853569-0.75846610) × R
    6.95899999999527e-05 × 6371000     		dl = 443.357889999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75853569-0.75846610) × R
    6.95899999999527e-05 × 6371000     		dr = 443.357889999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00824515--0.00814927) × cos(0.75853569) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.725844027843768 × 6371000     		do = 443.382898657525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00824515--0.00814927) × cos(0.75846610) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.72589189421642 × 6371000     		du = 443.412137902101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75853569)-sin(0.75846610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725844027843768-0.72589189421642)×R²
    abs(-0.00814927--0.00824515)×4.78663726514172e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78663726514172e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78663726514172e-05×40589641000000     		ar = 196583.78821462m²