Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32681 / 24233
↖ ↑ ↗
← N 42.386951°
W  0.477905°		 ← 451.13 m → N 42.386951°
W  0.472412°		 →
↑
451.13 m
↓
↑
451.13 m
↓
N 42.382894°
W  0.477905°		 ← 451.16 m →
203 527 m²		 N 42.382894°
W  0.472412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498680114746094 y=0.369773864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498680114746094 × 216)
    floor (0.498680114746094 × 65536)
    floor (32681.5)     		tx = 32681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369773864746094 × 216)
    floor (0.369773864746094 × 65536)
    floor (24233.5)     		ty = 24233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32681 / 24233 ti = "16/32681/24233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32681/24233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32681 ÷ 216
    32681 ÷ 65536     		x = 0.498672485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24233 ÷ 216
    24233 ÷ 65536     		y = 0.369766235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498672485351562 × 2 - 1) × π
    -0.002655029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00834102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369766235351562 × 2 - 1) × π
    0.260467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.818282876514358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00834102} λ = -0.00834102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818282876514358))-π/2
    2×atan(2.26660445432136)-π/2
    2×1.15529409464887-π/2
    2.31058818929773-1.57079632675     		φ = 0.73979186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00834102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.477905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73979186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.386951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32681 KachelY 24233 -0.00834102 0.73979186 -0.477905 42.386951
    Oben rechts KachelX + 1 32682 KachelY 24233 -0.00824515 0.73979186 -0.472412 42.386951
    Unten links KachelX 32681 KachelY + 1 24234 -0.00834102 0.73972105 -0.477905 42.382894
    Unten rechts KachelX + 1 32682 KachelY + 1 24234 -0.00824515 0.73972105 -0.472412 42.382894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73979186-0.73972105) × R
    7.08099999999767e-05 × 6371000     		dl = 451.130509999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73979186-0.73972105) × R
    7.08099999999767e-05 × 6371000     		dr = 451.130509999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00834102--0.00824515) × cos(0.73979186) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.738608889018438 × 6371000     		do = 451.133276225747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00834102--0.00824515) × cos(0.73972105) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.738656622608833 × 6371000     		du = 451.162431318979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73979186)-sin(0.73972105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738608889018438-0.738656622608833)×R²
    abs(-0.00824515--0.00834102)×4.77335903950049e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77335903950049e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77335903950049e-05×40589641000000     		ar = 203526.561442555m²