Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32680 / 22760
↖ ↑ ↗
← N 48.078079°
W  0.483398°		 ← 408.08 m → N 48.078079°
W  0.477905°		 →
↑
408.13 m
↓
↑
408.13 m
↓
N 48.074409°
W  0.483398°		 ← 408.11 m →
166 553 m²		 N 48.074409°
W  0.477905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498664855957031 y=0.347297668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498664855957031 × 216)
    floor (0.498664855957031 × 65536)
    floor (32680.5)     		tx = 32680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347297668457031 × 216)
    floor (0.347297668457031 × 65536)
    floor (22760.5)     		ty = 22760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32680 / 22760 ti = "16/32680/22760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32680/22760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32680 ÷ 216
    32680 ÷ 65536     		x = 0.4986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22760 ÷ 216
    22760 ÷ 65536     		y = 0.3472900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00843689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3472900390625 × 2 - 1) × π
    0.305419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.959504982795044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00843689} λ = -0.00843689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959504982795044))-π/2
    2×atan(2.61040395866956)-π/2
    2×1.20495855118719-π/2
    2.40991710237438-1.57079632675     		φ = 0.83912078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00843689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.483398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83912078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.078079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32680 KachelY 22760 -0.00843689 0.83912078 -0.483398 48.078079
    Oben rechts KachelX + 1 32681 KachelY 22760 -0.00834102 0.83912078 -0.477905 48.078079
    Unten links KachelX 32680 KachelY + 1 22761 -0.00843689 0.83905672 -0.483398 48.074409
    Unten rechts KachelX + 1 32681 KachelY + 1 22761 -0.00834102 0.83905672 -0.477905 48.074409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83912078-0.83905672) × R
    6.40600000000324e-05 × 6371000     		dl = 408.126260000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83912078-0.83905672) × R
    6.40600000000324e-05 × 6371000     		dr = 408.126260000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00843689--0.00834102) × cos(0.83912078) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.668117272897252 × 6371000     		do = 408.0778592114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00843689--0.00834102) × cos(0.83905672) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.668164935752784 × 6371000     		du = 408.106971100642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83912078)-sin(0.83905672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668117272897252-0.668164935752784)×R²
    abs(-0.00834102--0.00843689)×4.76628555318159e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.76628555318159e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.76628555318159e-05×40589641000000     		ar = 166553.231189256m²