Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32680 / 22209
↖ ↑ ↗
← N 50.060666°
W  0.483398°		 ← 392.11 m → N 50.060666°
W  0.477905°		 →
↑
392.14 m
↓
↑
392.14 m
↓
N 50.057139°
W  0.483398°		 ← 392.14 m →
153 766 m²		 N 50.057139°
W  0.477905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498664855957031 y=0.338890075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498664855957031 × 216)
    floor (0.498664855957031 × 65536)
    floor (32680.5)     		tx = 32680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338890075683594 × 216)
    floor (0.338890075683594 × 65536)
    floor (22209.5)     		ty = 22209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32680 / 22209 ti = "16/32680/22209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32680/22209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32680 ÷ 216
    32680 ÷ 65536     		x = 0.4986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22209 ÷ 216
    22209 ÷ 65536     		y = 0.338882446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00843689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338882446289062 × 2 - 1) × π
    0.322235107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01233144617635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00843689} λ = -0.00843689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01233144617635))-π/2
    2×atan(2.75200970385875)-π/2
    2×1.22225988175004-π/2
    2.44451976350007-1.57079632675     		φ = 0.87372344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00843689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.483398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87372344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.060666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32680 KachelY 22209 -0.00843689 0.87372344 -0.483398 50.060666
    Oben rechts KachelX + 1 32681 KachelY 22209 -0.00834102 0.87372344 -0.477905 50.060666
    Unten links KachelX 32680 KachelY + 1 22210 -0.00843689 0.87366189 -0.483398 50.057139
    Unten rechts KachelX + 1 32681 KachelY + 1 22210 -0.00834102 0.87366189 -0.477905 50.057139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87372344-0.87366189) × R
    6.15499999999658e-05 × 6371000     		dl = 392.135049999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87372344-0.87366189) × R
    6.15499999999658e-05 × 6371000     		dr = 392.135049999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00843689--0.00834102) × cos(0.87372344) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.64197615094451 × 6371000     		do = 392.111181628586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00843689--0.00834102) × cos(0.87366189) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.642023341627955 × 6371000     		du = 392.140005120892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87372344)-sin(0.87366189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64197615094451-0.642023341627955)×R²
    abs(-0.00834102--0.00843689)×4.71906834443869e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.71906834443869e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.71906834443869e-05×40589641000000     		ar = 153766.189212735m²