Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32680 / 21577
↖ ↑ ↗
← N 52.237893°
W  0.483398°		 ← 374.04 m → N 52.237893°
W  0.477905°		 →
↑
374.11 m
↓
↑
374.11 m
↓
N 52.234528°
W  0.483398°		 ← 374.07 m →
139 934 m²		 N 52.234528°
W  0.477905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498664855957031 y=0.329246520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498664855957031 × 216)
    floor (0.498664855957031 × 65536)
    floor (32680.5)     		tx = 32680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329246520996094 × 216)
    floor (0.329246520996094 × 65536)
    floor (21577.5)     		ty = 21577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32680 / 21577 ti = "16/32680/21577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32680/21577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32680 ÷ 216
    32680 ÷ 65536     		x = 0.4986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21577 ÷ 216
    21577 ÷ 65536     		y = 0.329238891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00843689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329238891601562 × 2 - 1) × π
    0.341522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0729236872961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00843689} λ = -0.00843689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0729236872961))-π/2
    2×atan(2.92391563039187)-π/2
    2×1.24125977128794-π/2
    2.48251954257587-1.57079632675     		φ = 0.91172322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00843689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.483398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91172322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.237893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32680 KachelY 21577 -0.00843689 0.91172322 -0.483398 52.237893
    Oben rechts KachelX + 1 32681 KachelY 21577 -0.00834102 0.91172322 -0.477905 52.237893
    Unten links KachelX 32680 KachelY + 1 21578 -0.00843689 0.91166450 -0.483398 52.234528
    Unten rechts KachelX + 1 32681 KachelY + 1 21578 -0.00834102 0.91166450 -0.477905 52.234528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91172322-0.91166450) × R
    5.87199999999566e-05 × 6371000     		dl = 374.105119999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91172322-0.91166450) × R
    5.87199999999566e-05 × 6371000     		dr = 374.105119999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00843689--0.00834102) × cos(0.91172322) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.61238435027299 × 6371000     		do = 374.036871686144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00843689--0.00834102) × cos(0.91166450) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.612430770911317 × 6371000     		du = 374.06522484431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91172322)-sin(0.91166450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61238435027299-0.612430770911317)×R²
    abs(-0.00834102--0.00843689)×4.64206383272714e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.64206383272714e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.64206383272714e-05×40589641000000     		ar = 139934.412337611m²