Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32678 / 24072
↖ ↑ ↗
← N 43.036776°
W  0.494385°		 ← 446.43 m → N 43.036776°
W  0.488892°		 →
↑
446.48 m
↓
↑
446.48 m
↓
N 43.032761°
W  0.494385°		 ← 446.46 m →
199 330 m²		 N 43.032761°
W  0.488892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498634338378906 y=0.367317199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498634338378906 × 216)
    floor (0.498634338378906 × 65536)
    floor (32678.5)     		tx = 32678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367317199707031 × 216)
    floor (0.367317199707031 × 65536)
    floor (24072.5)     		ty = 24072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32678 / 24072 ti = "16/32678/24072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32678/24072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32678 ÷ 216
    32678 ÷ 65536     		x = 0.498626708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24072 ÷ 216
    24072 ÷ 65536     		y = 0.3673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.00274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00862864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3673095703125 × 2 - 1) × π
    0.265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.833718558192017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00862864} λ = -0.00862864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833718558192017))-π/2
    2×atan(2.30186245475748)-π/2
    2×1.1609648824678-π/2
    2.32192976493559-1.57079632675     		φ = 0.75113344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00862864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.494385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75113344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.036776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32678 KachelY 24072 -0.00862864 0.75113344 -0.494385 43.036776
    Oben rechts KachelX + 1 32679 KachelY 24072 -0.00853277 0.75113344 -0.488892 43.036776
    Unten links KachelX 32678 KachelY + 1 24073 -0.00862864 0.75106336 -0.494385 43.032761
    Unten rechts KachelX + 1 32679 KachelY + 1 24073 -0.00853277 0.75106336 -0.488892 43.032761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75113344-0.75106336) × R
    7.00800000000834e-05 × 6371000     		dl = 446.479680000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75113344-0.75106336) × R
    7.00800000000834e-05 × 6371000     		dr = 446.479680000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00862864--0.00853277) × cos(0.75113344) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.730915802407826 × 6371000     		do = 446.434433010435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00862864--0.00853277) × cos(0.75106336) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.730963627945679 × 6371000     		du = 446.46364426405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75113344)-sin(0.75106336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730915802407826-0.730963627945679)×R²
    abs(-0.00853277--0.00862864)×4.78255378536518e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78255378536518e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78255378536518e-05×40589641000000     		ar = 199330.423988859m²