Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32678 / 21944
↖ ↑ ↗
← N 50.986099°
W  0.494385°		 ← 384.50 m → N 50.986099°
W  0.488892°		 →
↑
384.55 m
↓
↑
384.55 m
↓
N 50.982641°
W  0.494385°		 ← 384.52 m →
147 865 m²		 N 50.982641°
W  0.488892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498634338378906 y=0.334846496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498634338378906 × 216)
    floor (0.498634338378906 × 65536)
    floor (32678.5)     		tx = 32678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334846496582031 × 216)
    floor (0.334846496582031 × 65536)
    floor (21944.5)     		ty = 21944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32678 / 21944 ti = "16/32678/21944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32678/21944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32678 ÷ 216
    32678 ÷ 65536     		x = 0.498626708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21944 ÷ 216
    21944 ÷ 65536     		y = 0.3348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.00274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00862864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3348388671875 × 2 - 1) × π
    0.330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03773800297498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00862864} λ = -0.00862864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03773800297498))-π/2
    2×atan(2.82282456645666)-π/2
    2×1.23033581295576-π/2
    2.46067162591151-1.57079632675     		φ = 0.88987530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00862864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.494385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88987530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.986099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32678 KachelY 21944 -0.00862864 0.88987530 -0.494385 50.986099
    Oben rechts KachelX + 1 32679 KachelY 21944 -0.00853277 0.88987530 -0.488892 50.986099
    Unten links KachelX 32678 KachelY + 1 21945 -0.00862864 0.88981494 -0.494385 50.982641
    Unten rechts KachelX + 1 32679 KachelY + 1 21945 -0.00853277 0.88981494 -0.488892 50.982641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88987530-0.88981494) × R
    6.03599999999815e-05 × 6371000     		dl = 384.553559999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88987530-0.88981494) × R
    6.03599999999815e-05 × 6371000     		dr = 384.553559999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00862864--0.00853277) × cos(0.88987530) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.629508922526655 × 6371000     		do = 384.496350985157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00862864--0.00853277) × cos(0.88981494) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.629555820692672 × 6371000     		du = 384.524995811396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88987530)-sin(0.88981494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629508922526655-0.629555820692672)×R²
    abs(-0.00853277--0.00862864)×4.68981660169954e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.68981660169954e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.68981660169954e-05×40589641000000     		ar = 147864.948357848m²