Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32675 / 22756
↖ ↑ ↗
← N 48.092757°
W  0.510864°		 ← 407.96 m → N 48.092757°
W  0.505371°		 →
↑
408 m
↓
↑
408 m
↓
N 48.089088°
W  0.510864°		 ← 407.99 m →
166 454 m²		 N 48.089088°
W  0.505371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498588562011719 y=0.347236633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498588562011719 × 216)
    floor (0.498588562011719 × 65536)
    floor (32675.5)     		tx = 32675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347236633300781 × 216)
    floor (0.347236633300781 × 65536)
    floor (22756.5)     		ty = 22756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32675 / 22756 ti = "16/32675/22756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32675/22756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32675 ÷ 216
    32675 ÷ 65536     		x = 0.498580932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22756 ÷ 216
    22756 ÷ 65536     		y = 0.34722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498580932617188 × 2 - 1) × π
    -0.002838134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00891626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34722900390625 × 2 - 1) × π
    0.3055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.959888477992004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00891626} λ = -0.00891626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959888477992004))-π/2
    2×atan(2.61140522802856)-π/2
    2×1.20508664279318-π/2
    2.41017328558636-1.57079632675     		φ = 0.83937696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00891626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.510864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83937696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.092757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32675 KachelY 22756 -0.00891626 0.83937696 -0.510864 48.092757
    Oben rechts KachelX + 1 32676 KachelY 22756 -0.00882039 0.83937696 -0.505371 48.092757
    Unten links KachelX 32675 KachelY + 1 22757 -0.00891626 0.83931292 -0.510864 48.089088
    Unten rechts KachelX + 1 32676 KachelY + 1 22757 -0.00882039 0.83931292 -0.505371 48.089088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83937696-0.83931292) × R
    6.40399999999319e-05 × 6371000     		dl = 407.998839999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83937696-0.83931292) × R
    6.40399999999319e-05 × 6371000     		dr = 407.998839999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00891626--0.00882039) × cos(0.83937696) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.66792663871329 × 6371000     		do = 407.961422183292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00891626--0.00882039) × cos(0.83931292) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.667974297648362 × 6371000     		du = 407.990531677965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83937696)-sin(0.83931292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66792663871329-0.667974297648362)×R²
    abs(-0.00882039--0.00891626)×4.76589350715262e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.76589350715262e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.76589350715262e-05×40589641000000     		ar = 166453.725392456m²