Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32672 / 23968
↖ ↑ ↗
← N 43.452919°
W  0.527343°		 ← 443.40 m → N 43.452919°
W  0.521851°		 →
↑
443.42 m
↓
↑
443.42 m
↓
N 43.448931°
W  0.527343°		 ← 443.42 m →
196 617 m²		 N 43.448931°
W  0.521851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498542785644531 y=0.365730285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498542785644531 × 216)
    floor (0.498542785644531 × 65536)
    floor (32672.5)     		tx = 32672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365730285644531 × 216)
    floor (0.365730285644531 × 65536)
    floor (23968.5)     		ty = 23968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32672 / 23968 ti = "16/32672/23968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32672/23968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32672 ÷ 216
    32672 ÷ 65536     		x = 0.49853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23968 ÷ 216
    23968 ÷ 65536     		y = 0.36572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36572265625 × 2 - 1) × π
    0.2685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00920388} λ = -0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843689433312988))-π/2
    2×atan(2.32492884277519)-π/2
    2×1.16459641553599-π/2
    2.32919283107197-1.57079632675     		φ = 0.75839650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75839650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.452919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32672 KachelY 23968 -0.00920388 0.75839650 -0.527343 43.452919
    Oben rechts KachelX + 1 32673 KachelY 23968 -0.00910801 0.75839650 -0.521851 43.452919
    Unten links KachelX 32672 KachelY + 1 23969 -0.00920388 0.75832690 -0.527343 43.448931
    Unten rechts KachelX + 1 32673 KachelY + 1 23969 -0.00910801 0.75832690 -0.521851 43.448931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75839650-0.75832690) × R
    6.9600000000003e-05 × 6371000     		dl = 443.421600000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75839650-0.75832690) × R
    6.9600000000003e-05 × 6371000     		dr = 443.421600000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00920388--0.00910801) × cos(0.75839650) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.725939763951328 × 6371000     		do = 443.395129578156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00920388--0.00910801) × cos(0.75832690) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.725987630169668 × 6371000     		du = 443.424365678914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75839650)-sin(0.75832690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725939763951328-0.725987630169668)×R²
    abs(-0.00910801--0.00920388)×4.78662183399647e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78662183399647e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78662183399647e-05×40589641000000     		ar = 196617.459828616m²