Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32662 / 21908
↖ ↑ ↗
← N 51.110420°
W  0.582275°		 ← 383.47 m → N 51.110420°
W  0.576782°		 →
↑
383.47 m
↓
↑
383.47 m
↓
N 51.106971°
W  0.582275°		 ← 383.49 m →
147 053 m²		 N 51.106971°
W  0.576782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498390197753906 y=0.334297180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498390197753906 × 216)
    floor (0.498390197753906 × 65536)
    floor (32662.5)     		tx = 32662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334297180175781 × 216)
    floor (0.334297180175781 × 65536)
    floor (21908.5)     		ty = 21908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32662 / 21908 ti = "16/32662/21908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32662/21908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32662 ÷ 216
    32662 ÷ 65536     		x = 0.498382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21908 ÷ 216
    21908 ÷ 65536     		y = 0.33428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.00323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01016262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33428955078125 × 2 - 1) × π
    0.3314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04118945974762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01016262} λ = -0.01016262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04118945974762))-π/2
    2×atan(2.83258425630979)-π/2
    2×1.23142071814384-π/2
    2.46284143628768-1.57079632675     		φ = 0.89204511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01016262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.582275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89204511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.110420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32662 KachelY 21908 -0.01016262 0.89204511 -0.582275 51.110420
    Oben rechts KachelX + 1 32663 KachelY 21908 -0.01006675 0.89204511 -0.576782 51.110420
    Unten links KachelX 32662 KachelY + 1 21909 -0.01016262 0.89198492 -0.582275 51.106971
    Unten rechts KachelX + 1 32663 KachelY + 1 21909 -0.01006675 0.89198492 -0.576782 51.106971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89204511-0.89198492) × R
    6.01900000000155e-05 × 6371000     		dl = 383.470490000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89204511-0.89198492) × R
    6.01900000000155e-05 × 6371000     		dr = 383.470490000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01016262--0.01006675) × cos(0.89204511) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.627821514230362 × 6371000     		do = 383.465702634791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01016262--0.01006675) × cos(0.89198492) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.627868362421286 × 6371000     		du = 383.494316936854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89204511)-sin(0.89198492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627821514230362-0.627868362421286)×R²
    abs(-0.01006675--0.01016262)×4.68481909239316e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.68481909239316e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.68481909239316e-05×40589641000000     		ar = 147053.267302106m²