Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32660 / 22182
↖ ↑ ↗
← N 50.155786°
W  0.593262°		 ← 391.33 m → N 50.155786°
W  0.587769°		 →
↑
391.37 m
↓
↑
391.37 m
↓
N 50.152266°
W  0.593262°		 ← 391.36 m →
153 162 m²		 N 50.152266°
W  0.587769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498359680175781 y=0.338478088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498359680175781 × 216)
    floor (0.498359680175781 × 65536)
    floor (32660.5)     		tx = 32660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338478088378906 × 216)
    floor (0.338478088378906 × 65536)
    floor (22182.5)     		ty = 22182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32660 / 22182 ti = "16/32660/22182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32660/22182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32660 ÷ 216
    32660 ÷ 65536     		x = 0.49835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22182 ÷ 216
    22182 ÷ 65536     		y = 0.338470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.0032958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01035437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338470458984375 × 2 - 1) × π
    0.32305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01492003875583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01035437} λ = -0.01035437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01492003875583))-π/2
    2×atan(2.75914276406708)-π/2
    2×1.22308996470079-π/2
    2.44617992940157-1.57079632675     		φ = 0.87538360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01035437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.593262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87538360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.155786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32660 KachelY 22182 -0.01035437 0.87538360 -0.593262 50.155786
    Oben rechts KachelX + 1 32661 KachelY 22182 -0.01025850 0.87538360 -0.587769 50.155786
    Unten links KachelX 32660 KachelY + 1 22183 -0.01035437 0.87532217 -0.593262 50.152266
    Unten rechts KachelX + 1 32661 KachelY + 1 22183 -0.01025850 0.87532217 -0.587769 50.152266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87538360-0.87532217) × R
    6.1430000000029e-05 × 6371000     		dl = 391.370530000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87538360-0.87532217) × R
    6.1430000000029e-05 × 6371000     		dr = 391.370530000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01035437--0.01025850) × cos(0.87538360) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.640702381322078 × 6371000     		do = 391.3331787214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01035437--0.01025850) × cos(0.87532217) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.640749545411831 × 6371000     		du = 391.361985970605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87538360)-sin(0.87532217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640702381322078-0.640749545411831)×R²
    abs(-0.01025850--0.01035437)×4.71640897529157e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.71640897529157e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.71640897529157e-05×40589641000000     		ar = 153161.910764868m²