Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32657 / 22191
↖ ↑ ↗
← N 50.124100°
W  0.609741°		 ← 391.59 m → N 50.124100°
W  0.604248°		 →
↑
391.63 m
↓
↑
391.63 m
↓
N 50.120578°
W  0.609741°		 ← 391.62 m →
153 363 m²		 N 50.120578°
W  0.604248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498313903808594 y=0.338615417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498313903808594 × 216)
    floor (0.498313903808594 × 65536)
    floor (32657.5)     		tx = 32657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338615417480469 × 216)
    floor (0.338615417480469 × 65536)
    floor (22191.5)     		ty = 22191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32657 / 22191 ti = "16/32657/22191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32657/22191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32657 ÷ 216
    32657 ÷ 65536     		x = 0.498306274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22191 ÷ 216
    22191 ÷ 65536     		y = 0.338607788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498306274414062 × 2 - 1) × π
    -0.003387451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01064199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338607788085938 × 2 - 1) × π
    0.322784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01405717456267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01064199} λ = -0.01064199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01405717456267))-π/2
    2×atan(2.75676302541543)-π/2
    2×1.22281345356016-π/2
    2.44562690712033-1.57079632675     		φ = 0.87483058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01064199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.609741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87483058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.124100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32657 KachelY 22191 -0.01064199 0.87483058 -0.609741 50.124100
    Oben rechts KachelX + 1 32658 KachelY 22191 -0.01054612 0.87483058 -0.604248 50.124100
    Unten links KachelX 32657 KachelY + 1 22192 -0.01064199 0.87476911 -0.609741 50.120578
    Unten rechts KachelX + 1 32658 KachelY + 1 22192 -0.01054612 0.87476911 -0.604248 50.120578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87483058-0.87476911) × R
    6.14700000000079e-05 × 6371000     		dl = 391.62537000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87483058-0.87476911) × R
    6.14700000000079e-05 × 6371000     		dr = 391.62537000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01064199--0.01054612) × cos(0.87483058) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.641126886183542 × 6371000     		do = 391.592461099088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01064199--0.01054612) × cos(0.87476911) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.641174059195149 × 6371000     		du = 391.621273797652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87483058)-sin(0.87476911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641126886183542-0.641174059195149)×R²
    abs(-0.01054612--0.01064199)×4.71730116072822e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.71730116072822e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.71730116072822e-05×40589641000000     		ar = 153363.184407421m²