Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32657 / 22187
↖ ↑ ↗
← N 50.138185°
W  0.609741°		 ← 391.48 m → N 50.138185°
W  0.604248°		 →
↑
391.50 m
↓
↑
391.50 m
↓
N 50.134664°
W  0.609741°		 ← 391.51 m →
153 268 m²		 N 50.134664°
W  0.604248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498313903808594 y=0.338554382324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498313903808594 × 216)
    floor (0.498313903808594 × 65536)
    floor (32657.5)     		tx = 32657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338554382324219 × 216)
    floor (0.338554382324219 × 65536)
    floor (22187.5)     		ty = 22187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32657 / 22187 ti = "16/32657/22187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32657/22187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32657 ÷ 216
    32657 ÷ 65536     		x = 0.498306274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22187 ÷ 216
    22187 ÷ 65536     		y = 0.338546752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498306274414062 × 2 - 1) × π
    -0.003387451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01064199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338546752929688 × 2 - 1) × π
    0.322906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01444066975963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01064199} λ = -0.01064199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01444066975963))-π/2
    2×atan(2.75782043353735)-π/2
    2×1.22293637001111-π/2
    2.44587274002223-1.57079632675     		φ = 0.87507641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01064199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.609741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87507641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.138185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32657 KachelY 22187 -0.01064199 0.87507641 -0.609741 50.138185
    Oben rechts KachelX + 1 32658 KachelY 22187 -0.01054612 0.87507641 -0.604248 50.138185
    Unten links KachelX 32657 KachelY + 1 22188 -0.01064199 0.87501496 -0.609741 50.134664
    Unten rechts KachelX + 1 32658 KachelY + 1 22188 -0.01054612 0.87501496 -0.604248 50.134664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87507641-0.87501496) × R
    6.14500000000184e-05 × 6371000     		dl = 391.497950000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87507641-0.87501496) × R
    6.14500000000184e-05 × 6371000     		dr = 391.497950000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01064199--0.01054612) × cos(0.87507641) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.64093820829315 × 6371000     		do = 391.477218951167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01064199--0.01054612) × cos(0.87501496) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.640985375640804 × 6371000     		du = 391.506028190258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87507641)-sin(0.87501496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64093820829315-0.640985375640804)×R²
    abs(-0.01054612--0.01064199)×4.71673476539758e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.71673476539758e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.71673476539758e-05×40589641000000     		ar = 153268.168118068m²