Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32657 / 21901
↖ ↑ ↗
← N 51.134555°
W  0.609741°		 ← 383.27 m → N 51.134555°
W  0.604248°		 →
↑
383.28 m
↓
↑
383.28 m
↓
N 51.131108°
W  0.609741°		 ← 383.29 m →
146 903 m²		 N 51.131108°
W  0.604248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498313903808594 y=0.334190368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498313903808594 × 216)
    floor (0.498313903808594 × 65536)
    floor (32657.5)     		tx = 32657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334190368652344 × 216)
    floor (0.334190368652344 × 65536)
    floor (21901.5)     		ty = 21901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32657 / 21901 ti = "16/32657/21901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32657/21901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32657 ÷ 216
    32657 ÷ 65536     		x = 0.498306274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21901 ÷ 216
    21901 ÷ 65536     		y = 0.334182739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498306274414062 × 2 - 1) × π
    -0.003387451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01064199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334182739257812 × 2 - 1) × π
    0.331634521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0418605763423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01064199} λ = -0.01064199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0418605763423))-π/2
    2×atan(2.83448588864717)-π/2
    2×1.2316313338418-π/2
    2.46326266768359-1.57079632675     		φ = 0.89246634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01064199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.609741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89246634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.134555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32657 KachelY 21901 -0.01064199 0.89246634 -0.609741 51.134555
    Oben rechts KachelX + 1 32658 KachelY 21901 -0.01054612 0.89246634 -0.604248 51.134555
    Unten links KachelX 32657 KachelY + 1 21902 -0.01064199 0.89240618 -0.609741 51.131108
    Unten rechts KachelX + 1 32658 KachelY + 1 21902 -0.01054612 0.89240618 -0.604248 51.131108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89246634-0.89240618) × R
    6.01599999999758e-05 × 6371000     		dl = 383.279359999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89246634-0.89240618) × R
    6.01599999999758e-05 × 6371000     		dr = 383.279359999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01064199--0.01054612) × cos(0.89246634) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.627493591079731 × 6371000     		do = 383.26541118488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01064199--0.01054612) × cos(0.89240618) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.627540431827256 × 6371000     		du = 383.294020940605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89246634)-sin(0.89240618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627493591079731-0.627540431827256)×R²
    abs(-0.01054612--0.01064199)×4.68407475243682e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.68407475243682e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.68407475243682e-05×40589641000000     		ar = 146903.204317863m²