Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32656 / 22833
↖ ↑ ↗
← N 47.809466°
W  0.615235°		 ← 410.25 m → N 47.809466°
W  0.609741°		 →
↑
410.29 m
↓
↑
410.29 m
↓
N 47.805776°
W  0.615235°		 ← 410.28 m →
168 327 m²		 N 47.805776°
W  0.609741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498298645019531 y=0.348411560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498298645019531 × 216)
    floor (0.498298645019531 × 65536)
    floor (32656.5)     		tx = 32656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348411560058594 × 216)
    floor (0.348411560058594 × 65536)
    floor (22833.5)     		ty = 22833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32656 / 22833 ti = "16/32656/22833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32656/22833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32656 ÷ 216
    32656 ÷ 65536     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22833 ÷ 216
    22833 ÷ 65536     		y = 0.348403930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348403930664062 × 2 - 1) × π
    0.303192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.952506195450516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952506195450516))-π/2
    2×atan(2.59219808032984)-π/2
    2×1.20261445624424-π/2
    2.40522891248847-1.57079632675     		φ = 0.83443259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83443259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.809466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32656 KachelY 22833 -0.01073787 0.83443259 -0.615235 47.809466
    Oben rechts KachelX + 1 32657 KachelY 22833 -0.01064199 0.83443259 -0.609741 47.809466
    Unten links KachelX 32656 KachelY + 1 22834 -0.01073787 0.83436819 -0.615235 47.805776
    Unten rechts KachelX + 1 32657 KachelY + 1 22834 -0.01064199 0.83436819 -0.609741 47.805776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83443259-0.83436819) × R
    6.44000000000755e-05 × 6371000     		dl = 410.292400000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83443259-0.83436819) × R
    6.44000000000755e-05 × 6371000     		dr = 410.292400000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.01064199) × cos(0.83443259) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.671598193646788 × 6371000     		do = 410.246750554466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.01064199) × cos(0.83436819) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.671645907216107 × 6371000     		du = 410.2758964589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83443259)-sin(0.83436819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671598193646788-0.671645907216107)×R²
    abs(-0.01064199--0.01073787)×4.77135693183195e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77135693183195e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77135693183195e-05×40589641000000     		ar = 168327.103107008m²