Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32652 / 23932
↖ ↑ ↗
← N 43.596306°
W  0.637207°		 ← 442.34 m → N 43.596306°
W  0.631714°		 →
↑
442.40 m
↓
↑
442.40 m
↓
N 43.592327°
W  0.637207°		 ← 442.37 m →
195 700 m²		 N 43.592327°
W  0.631714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498237609863281 y=0.365180969238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498237609863281 × 216)
    floor (0.498237609863281 × 65536)
    floor (32652.5)     		tx = 32652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365180969238281 × 216)
    floor (0.365180969238281 × 65536)
    floor (23932.5)     		ty = 23932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32652 / 23932 ti = "16/32652/23932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32652/23932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32652 ÷ 216
    32652 ÷ 65536     		x = 0.49822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23932 ÷ 216
    23932 ÷ 65536     		y = 0.36517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0035400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01112136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36517333984375 × 2 - 1) × π
    0.2696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.847140890085632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01112136} λ = -0.01112136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.847140890085632))-π/2
    2×atan(2.33296709804112)-π/2
    2×1.16584770335882-π/2
    2.33169540671764-1.57079632675     		φ = 0.76089908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01112136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.637207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76089908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.596306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32652 KachelY 23932 -0.01112136 0.76089908 -0.637207 43.596306
    Oben rechts KachelX + 1 32653 KachelY 23932 -0.01102549 0.76089908 -0.631714 43.596306
    Unten links KachelX 32652 KachelY + 1 23933 -0.01112136 0.76082964 -0.637207 43.592327
    Unten rechts KachelX + 1 32653 KachelY + 1 23933 -0.01102549 0.76082964 -0.631714 43.592327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76089908-0.76082964) × R
    6.94399999999762e-05 × 6371000     		dl = 442.402239999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76089908-0.76082964) × R
    6.94399999999762e-05 × 6371000     		dr = 442.402239999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01112136--0.01102549) × cos(0.76089908) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.724216322372776 × 6371000     		do = 442.342472539667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01112136--0.01102549) × cos(0.76082964) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.724264204565535 × 6371000     		du = 442.371718397406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76089908)-sin(0.76082964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724216322372776-0.724264204565535)×R²
    abs(-0.01102549--0.01112136)×4.78821927598627e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78821927598627e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78821927598627e-05×40589641000000     		ar = 195699.769993489m²