Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32652 / 23922
↖ ↑ ↗
← N 43.636075°
W  0.637207°		 ← 442.05 m → N 43.636075°
W  0.631714°		 →
↑
442.08 m
↓
↑
442.08 m
↓
N 43.632099°
W  0.637207°		 ← 442.08 m →
195 430 m²		 N 43.632099°
W  0.631714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498237609863281 y=0.365028381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498237609863281 × 216)
    floor (0.498237609863281 × 65536)
    floor (32652.5)     		tx = 32652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365028381347656 × 216)
    floor (0.365028381347656 × 65536)
    floor (23922.5)     		ty = 23922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32652 / 23922 ti = "16/32652/23922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32652/23922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32652 ÷ 216
    32652 ÷ 65536     		x = 0.49822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23922 ÷ 216
    23922 ÷ 65536     		y = 0.365020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0035400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01112136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365020751953125 × 2 - 1) × π
    0.26995849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.848099628078033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01112136} λ = -0.01112136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.848099628078033))-π/2
    2×atan(2.33520487478241)-π/2
    2×1.16619475544833-π/2
    2.33238951089665-1.57079632675     		φ = 0.76159318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01112136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.637207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76159318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.636075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32652 KachelY 23922 -0.01112136 0.76159318 -0.637207 43.636075
    Oben rechts KachelX + 1 32653 KachelY 23922 -0.01102549 0.76159318 -0.631714 43.636075
    Unten links KachelX 32652 KachelY + 1 23923 -0.01112136 0.76152379 -0.637207 43.632099
    Unten rechts KachelX + 1 32653 KachelY + 1 23923 -0.01102549 0.76152379 -0.631714 43.632099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76159318-0.76152379) × R
    6.9389999999947e-05 × 6371000     		dl = 442.083689999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76159318-0.76152379) × R
    6.9389999999947e-05 × 6371000     		dr = 442.083689999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01112136--0.01102549) × cos(0.76159318) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.723737515439954 × 6371000     		do = 442.050023120908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01112136--0.01102549) × cos(0.76152379) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.723785398027073 × 6371000     		du = 442.079269219516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76159318)-sin(0.76152379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723737515439954-0.723785398027073)×R²
    abs(-0.01102549--0.01112136)×4.78825871189636e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78825871189636e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78825871189636e-05×40589641000000     		ar = 195429.570075553m²