Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32648 / 23928
↖ ↑ ↗
← N 43.612217°
W  0.659180°		 ← 442.27 m → N 43.612217°
W  0.653686°		 →
↑
442.27 m
↓
↑
442.27 m
↓
N 43.608239°
W  0.659180°		 ← 442.30 m →
195 612 m²		 N 43.608239°
W  0.653686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498176574707031 y=0.365119934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498176574707031 × 216)
    floor (0.498176574707031 × 65536)
    floor (32648.5)     		tx = 32648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365119934082031 × 216)
    floor (0.365119934082031 × 65536)
    floor (23928.5)     		ty = 23928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32648 / 23928 ti = "16/32648/23928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32648/23928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32648 ÷ 216
    32648 ÷ 65536     		x = 0.4981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23928 ÷ 216
    23928 ÷ 65536     		y = 0.3651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3651123046875 × 2 - 1) × π
    0.269775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.847524385282593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01150486} λ = -0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.847524385282593))-π/2
    2×atan(2.33386195129288)-π/2
    2×1.16598655173775-π/2
    2.3319731034755-1.57079632675     		φ = 0.76117678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76117678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.612217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32648 KachelY 23928 -0.01150486 0.76117678 -0.659180 43.612217
    Oben rechts KachelX + 1 32649 KachelY 23928 -0.01140898 0.76117678 -0.653686 43.612217
    Unten links KachelX 32648 KachelY + 1 23929 -0.01150486 0.76110736 -0.659180 43.608239
    Unten rechts KachelX + 1 32649 KachelY + 1 23929 -0.01140898 0.76110736 -0.653686 43.608239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76117678-0.76110736) × R
    6.94199999999867e-05 × 6371000     		dl = 442.274819999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76117678-0.76110736) × R
    6.94199999999867e-05 × 6371000     		dr = 442.274819999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01150486--0.01140898) × cos(0.76117678) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.724024800069398 × 6371000     		do = 442.271620679094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01150486--0.01140898) × cos(0.76110736) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.724072682431716 × 6371000     		du = 442.300869690982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76117678)-sin(0.76110736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724024800069398-0.724072682431716)×R²
    abs(-0.01140898--0.01150486)×4.78823623184521e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78823623184521e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78823623184521e-05×40589641000000     		ar = 195612.069556208m²