Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32645 / 23938
↖ ↑ ↗
← N 43.572432°
W  0.675659°		 ← 442.56 m → N 43.572432°
W  0.670166°		 →
↑
442.59 m
↓
↑
442.59 m
↓
N 43.568452°
W  0.675659°		 ← 442.59 m →
195 882 m²		 N 43.568452°
W  0.670166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498130798339844 y=0.365272521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498130798339844 × 216)
    floor (0.498130798339844 × 65536)
    floor (32645.5)     		tx = 32645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365272521972656 × 216)
    floor (0.365272521972656 × 65536)
    floor (23938.5)     		ty = 23938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32645 / 23938 ti = "16/32645/23938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32645/23938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32645 ÷ 216
    32645 ÷ 65536     		x = 0.498123168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23938 ÷ 216
    23938 ÷ 65536     		y = 0.365264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498123168945312 × 2 - 1) × π
    -0.003753662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01179248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365264892578125 × 2 - 1) × π
    0.26947021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.846565647290192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01179248} λ = -0.01179248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846565647290192))-π/2
    2×atan(2.33162546144636)-π/2
    2×1.16563936193509-π/2
    2.33127872387017-1.57079632675     		φ = 0.76048240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01179248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.675659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76048240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.572432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32645 KachelY 23938 -0.01179248 0.76048240 -0.675659 43.572432
    Oben rechts KachelX + 1 32646 KachelY 23938 -0.01169660 0.76048240 -0.670166 43.572432
    Unten links KachelX 32645 KachelY + 1 23939 -0.01179248 0.76041293 -0.675659 43.568452
    Unten rechts KachelX + 1 32646 KachelY + 1 23939 -0.01169660 0.76041293 -0.670166 43.568452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76048240-0.76041293) × R
    6.94700000000159e-05 × 6371000     		dl = 442.593370000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76048240-0.76041293) × R
    6.94700000000159e-05 × 6371000     		dr = 442.593370000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01179248--0.01169660) × cos(0.76048240) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.724503590710468 × 6371000     		do = 442.564090650802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01179248--0.01169660) × cos(0.76041293) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.724551472620337 × 6371000     		du = 442.593339386311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76048240)-sin(0.76041293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724503590710468-0.724551472620337)×R²
    abs(-0.01169660--0.01179248)×4.78819098693739e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78819098693739e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78819098693739e-05×40589641000000     		ar = 195882.405048973m²