Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32644 / 23942
↖ ↑ ↗
← N 43.556511°
W  0.681152°		 ← 442.63 m → N 43.556511°
W  0.675659°		 →
↑
442.66 m
↓
↑
442.66 m
↓
N 43.552530°
W  0.681152°		 ← 442.66 m →
195 942 m²		 N 43.552530°
W  0.675659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498115539550781 y=0.365333557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498115539550781 × 216)
    floor (0.498115539550781 × 65536)
    floor (32644.5)     		tx = 32644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365333557128906 × 216)
    floor (0.365333557128906 × 65536)
    floor (23942.5)     		ty = 23942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32644 / 23942 ti = "16/32644/23942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32644/23942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32644 ÷ 216
    32644 ÷ 65536     		x = 0.49810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23942 ÷ 216
    23942 ÷ 65536     		y = 0.365325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01188835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365325927734375 × 2 - 1) × π
    0.26934814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.846182152093231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01188835} λ = -0.01188835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846182152093231))-π/2
    2×atan(2.33073146571327)-π/2
    2×1.16550042175051-π/2
    2.33100084350102-1.57079632675     		φ = 0.76020452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01188835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76020452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.556511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32644 KachelY 23942 -0.01188835 0.76020452 -0.681152 43.556511
    Oben rechts KachelX + 1 32645 KachelY 23942 -0.01179248 0.76020452 -0.675659 43.556511
    Unten links KachelX 32644 KachelY + 1 23943 -0.01188835 0.76013504 -0.681152 43.552530
    Unten rechts KachelX + 1 32645 KachelY + 1 23943 -0.01179248 0.76013504 -0.675659 43.552530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76020452-0.76013504) × R
    6.94800000000662e-05 × 6371000     		dl = 442.657080000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76020452-0.76013504) × R
    6.94800000000662e-05 × 6371000     		dr = 442.657080000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01188835--0.01179248) × cos(0.76020452) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.724695097368557 × 6371000     		do = 442.63490245168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01188835--0.01179248) × cos(0.76013504) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.724742972180257 × 6371000     		du = 442.664143801158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76020452)-sin(0.76013504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724695097368557-0.724742972180257)×R²
    abs(-0.01179248--0.01188835)×4.78748117003214e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.78748117003214e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.78748117003214e-05×40589641000000     		ar = 195941.945449503m²