Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32644 / 23940
↖ ↑ ↗
← N 43.564472°
W  0.681152°		 ← 442.58 m → N 43.564472°
W  0.675659°		 →
↑
442.66 m
↓
↑
442.66 m
↓
N 43.560491°
W  0.681152°		 ← 442.61 m →
195 916 m²		 N 43.560491°
W  0.675659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498115539550781 y=0.365303039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498115539550781 × 216)
    floor (0.498115539550781 × 65536)
    floor (32644.5)     		tx = 32644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365303039550781 × 216)
    floor (0.365303039550781 × 65536)
    floor (23940.5)     		ty = 23940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32644 / 23940 ti = "16/32644/23940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32644/23940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32644 ÷ 216
    32644 ÷ 65536     		x = 0.49810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23940 ÷ 216
    23940 ÷ 65536     		y = 0.36529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01188835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36529541015625 × 2 - 1) × π
    0.2694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.846373899691711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01188835} λ = -0.01188835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846373899691711))-π/2
    2×atan(2.33117842072443)-π/2
    2×1.16556989643292-π/2
    2.33113979286584-1.57079632675     		φ = 0.76034347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01188835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76034347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.564472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32644 KachelY 23940 -0.01188835 0.76034347 -0.681152 43.564472
    Oben rechts KachelX + 1 32645 KachelY 23940 -0.01179248 0.76034347 -0.675659 43.564472
    Unten links KachelX 32644 KachelY + 1 23941 -0.01188835 0.76027399 -0.681152 43.560491
    Unten rechts KachelX + 1 32645 KachelY + 1 23941 -0.01179248 0.76027399 -0.675659 43.560491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76034347-0.76027399) × R
    6.94800000000662e-05 × 6371000     		dl = 442.657080000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76034347-0.76027399) × R
    6.94800000000662e-05 × 6371000     		dr = 442.657080000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01188835--0.01179248) × cos(0.76034347) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.724599344141759 × 6371000     		do = 442.576417551814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01188835--0.01179248) × cos(0.76027399) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.724647225949613 × 6371000     		du = 442.605663174457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76034347)-sin(0.76027399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724599344141759-0.724647225949613)×R²
    abs(-0.01179248--0.01188835)×4.78818078538668e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.78818078538668e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.78818078538668e-05×40589641000000     		ar = 195916.057640184m²