Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32644 / 23172
↖ ↑ ↗
← N 46.543750°
W  0.681152°		 ← 420.10 m → N 46.543750°
W  0.675659°		 →
↑
420.17 m
↓
↑
420.17 m
↓
N 46.539971°
W  0.681152°		 ← 420.13 m →
176 519 m²		 N 46.539971°
W  0.675659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498115539550781 y=0.353584289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498115539550781 × 216)
    floor (0.498115539550781 × 65536)
    floor (32644.5)     		tx = 32644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353584289550781 × 216)
    floor (0.353584289550781 × 65536)
    floor (23172.5)     		ty = 23172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32644 / 23172 ti = "16/32644/23172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32644/23172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32644 ÷ 216
    32644 ÷ 65536     		x = 0.49810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23172 ÷ 216
    23172 ÷ 65536     		y = 0.35357666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01188835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35357666015625 × 2 - 1) × π
    0.2928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.920004977508118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01188835} λ = -0.01188835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920004977508118))-π/2
    2×atan(2.50930287998067)-π/2
    2×1.1915690017842-π/2
    2.3831380035684-1.57079632675     		φ = 0.81234168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01188835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81234168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.543750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32644 KachelY 23172 -0.01188835 0.81234168 -0.681152 46.543750
    Oben rechts KachelX + 1 32645 KachelY 23172 -0.01179248 0.81234168 -0.675659 46.543750
    Unten links KachelX 32644 KachelY + 1 23173 -0.01188835 0.81227573 -0.681152 46.539971
    Unten rechts KachelX + 1 32645 KachelY + 1 23173 -0.01179248 0.81227573 -0.675659 46.539971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81234168-0.81227573) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dl = 420.167449999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81234168-0.81227573) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dr = 420.167449999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01188835--0.01179248) × cos(0.81234168) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.68780049529183 × 6371000     		do = 420.100130724198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01188835--0.01179248) × cos(0.81227573) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.687848366885984 × 6371000     		du = 420.129370108438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81234168)-sin(0.81227573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68780049529183-0.687848366885984)×R²
    abs(-0.01179248--0.01188835)×4.78715941538699e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.78715941538699e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.78715941538699e-05×40589641000000     		ar = 176518.543453654m²