Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32642 / 24199
↖ ↑ ↗
← N 42.524748°
W  0.692139°		 ← 450.19 m → N 42.524748°
W  0.686645°		 →
↑
450.17 m
↓
↑
450.17 m
↓
N 42.520700°
W  0.692139°		 ← 450.22 m →
202 670 m²		 N 42.520700°
W  0.686645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498085021972656 y=0.369255065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498085021972656 × 216)
    floor (0.498085021972656 × 65536)
    floor (32642.5)     		tx = 32642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369255065917969 × 216)
    floor (0.369255065917969 × 65536)
    floor (24199.5)     		ty = 24199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32642 / 24199 ti = "16/32642/24199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32642/24199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32642 ÷ 216
    32642 ÷ 65536     		x = 0.498077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24199 ÷ 216
    24199 ÷ 65536     		y = 0.369247436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.00384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01208010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369247436523438 × 2 - 1) × π
    0.261505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.821542585688522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01208010} λ = -0.01208010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821542585688522))-π/2
    2×atan(2.2740049808845)-π/2
    2×1.15649659684879-π/2
    2.31299319369758-1.57079632675     		φ = 0.74219687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01208010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.692139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74219687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.524748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32642 KachelY 24199 -0.01208010 0.74219687 -0.692139 42.524748
    Oben rechts KachelX + 1 32643 KachelY 24199 -0.01198422 0.74219687 -0.686645 42.524748
    Unten links KachelX 32642 KachelY + 1 24200 -0.01208010 0.74212621 -0.692139 42.520700
    Unten rechts KachelX + 1 32643 KachelY + 1 24200 -0.01198422 0.74212621 -0.686645 42.520700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74219687-0.74212621) × R
    7.06600000000002e-05 × 6371000     		dl = 450.174860000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74219687-0.74212621) × R
    7.06600000000002e-05 × 6371000     		dr = 450.174860000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01208010--0.01198422) × cos(0.74219687) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.736985455024987 × 6371000     		do = 450.188655940485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01208010--0.01198422) × cos(0.74212621) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.737033212886984 × 6371000     		du = 450.217828901167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74219687)-sin(0.74212621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736985455024987-0.737033212886984)×R²
    abs(-0.01198422--0.01208010)×4.77578619970664e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77578619970664e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77578619970664e-05×40589641000000     		ar = 202670.181712714m²