Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32642 / 23170
↖ ↑ ↗
← N 46.551305°
W  0.692139°		 ← 420.09 m → N 46.551305°
W  0.686645°		 →
↑
420.04 m
↓
↑
420.04 m
↓
N 46.547528°
W  0.692139°		 ← 420.11 m →
176 459 m²		 N 46.547528°
W  0.686645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498085021972656 y=0.353553771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498085021972656 × 216)
    floor (0.498085021972656 × 65536)
    floor (32642.5)     		tx = 32642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353553771972656 × 216)
    floor (0.353553771972656 × 65536)
    floor (23170.5)     		ty = 23170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32642 / 23170 ti = "16/32642/23170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32642/23170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32642 ÷ 216
    32642 ÷ 65536     		x = 0.498077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23170 ÷ 216
    23170 ÷ 65536     		y = 0.353546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.00384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01208010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353546142578125 × 2 - 1) × π
    0.29290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.920196725106598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01208010} λ = -0.01208010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920196725106598))-π/2
    2×atan(2.50978407891466)-π/2
    2×1.19163493924183-π/2
    2.38326987848366-1.57079632675     		φ = 0.81247355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01208010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.692139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81247355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.551305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32642 KachelY 23170 -0.01208010 0.81247355 -0.692139 46.551305
    Oben rechts KachelX + 1 32643 KachelY 23170 -0.01198422 0.81247355 -0.686645 46.551305
    Unten links KachelX 32642 KachelY + 1 23171 -0.01208010 0.81240762 -0.692139 46.547528
    Unten rechts KachelX + 1 32643 KachelY + 1 23171 -0.01198422 0.81240762 -0.686645 46.547528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81247355-0.81240762) × R
    6.59299999999918e-05 × 6371000     		dl = 420.040029999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81247355-0.81240762) × R
    6.59299999999918e-05 × 6371000     		dr = 420.040029999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01208010--0.01198422) × cos(0.81247355) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.687704764908881 × 6371000     		do = 420.08547344764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01208010--0.01198422) × cos(0.81240762) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.687752627965606 × 6371000     		du = 420.114710666678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81247355)-sin(0.81240762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687704764908881-0.687752627965606)×R²
    abs(-0.01198422--0.01208010)×4.78630567249949e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78630567249949e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78630567249949e-05×40589641000000     		ar = 176458.855334745m²