Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32640 / 24198
↖ ↑ ↗
← N 42.528796°
W  0.703125°		 ← 450.16 m → N 42.528796°
W  0.697632°		 →
↑
450.11 m
↓
↑
450.11 m
↓
N 42.524748°
W  0.703125°		 ← 450.19 m →
202 628 m²		 N 42.524748°
W  0.697632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498054504394531 y=0.369239807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498054504394531 × 216)
    floor (0.498054504394531 × 65536)
    floor (32640.5)     		tx = 32640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369239807128906 × 216)
    floor (0.369239807128906 × 65536)
    floor (24198.5)     		ty = 24198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32640 / 24198 ti = "16/32640/24198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32640/24198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32640 ÷ 216
    32640 ÷ 65536     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24198 ÷ 216
    24198 ÷ 65536     		y = 0.369232177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369232177734375 × 2 - 1) × π
    0.26153564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.821638459487762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821638459487762))-π/2
    2×atan(2.27422300883293)-π/2
    2×1.15653192450198-π/2
    2.31306384900396-1.57079632675     		φ = 0.74226752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74226752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.528796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32640 KachelY 24198 -0.01227185 0.74226752 -0.703125 42.528796
    Oben rechts KachelX + 1 32641 KachelY 24198 -0.01217597 0.74226752 -0.697632 42.528796
    Unten links KachelX 32640 KachelY + 1 24199 -0.01227185 0.74219687 -0.703125 42.524748
    Unten rechts KachelX + 1 32641 KachelY + 1 24199 -0.01217597 0.74219687 -0.697632 42.524748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74226752-0.74219687) × R
    7.06499999999499e-05 × 6371000     		dl = 450.111149999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74226752-0.74219687) × R
    7.06499999999499e-05 × 6371000     		dr = 450.111149999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01217597) × cos(0.74226752) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.736937700242949 × 6371000     		do = 450.159484861208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01217597) × cos(0.74219687) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.736985455024987 × 6371000     		du = 450.188655940493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74226752)-sin(0.74219687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736937700242949-0.736985455024987)×R²
    abs(-0.01217597--0.01227185)×4.77547820375568e-05×R²
    9.58800000000013e-05×4.77547820375568e-05×6371000²
    9.58800000000013e-05×4.77547820375568e-05×40589641000000     		ar = 202628.368612577m²