Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32639 / 23939
↖ ↑ ↗
← N 43.568452°
W  0.708618°		 ← 442.55 m → N 43.568452°
W  0.703125°		 →
↑
442.53 m
↓
↑
442.53 m
↓
N 43.564472°
W  0.708618°		 ← 442.58 m →
195 847 m²		 N 43.564472°
W  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498039245605469 y=0.365287780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498039245605469 × 216)
    floor (0.498039245605469 × 65536)
    floor (32639.5)     		tx = 32639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365287780761719 × 216)
    floor (0.365287780761719 × 65536)
    floor (23939.5)     		ty = 23939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32639 / 23939 ti = "16/32639/23939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32639/23939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32639 ÷ 216
    32639 ÷ 65536     		x = 0.498031616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23939 ÷ 216
    23939 ÷ 65536     		y = 0.365280151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498031616210938 × 2 - 1) × π
    -0.003936767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01236772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365280151367188 × 2 - 1) × π
    0.269439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.846469773490952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01236772} λ = -0.01236772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846469773490952))-π/2
    2×atan(2.33140193037052)-π/2
    2×1.16560463033154-π/2
    2.33120926066309-1.57079632675     		φ = 0.76041293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01236772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.708618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76041293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.568452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32639 KachelY 23939 -0.01236772 0.76041293 -0.708618 43.568452
    Oben rechts KachelX + 1 32640 KachelY 23939 -0.01227185 0.76041293 -0.703125 43.568452
    Unten links KachelX 32639 KachelY + 1 23940 -0.01236772 0.76034347 -0.708618 43.564472
    Unten rechts KachelX + 1 32640 KachelY + 1 23940 -0.01227185 0.76034347 -0.703125 43.564472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76041293-0.76034347) × R
    6.94599999999657e-05 × 6371000     		dl = 442.529659999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76041293-0.76034347) × R
    6.94599999999657e-05 × 6371000     		dr = 442.529659999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01236772--0.01227185) × cos(0.76041293) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.724551472620337 × 6371000     		do = 442.54717821199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01236772--0.01227185) × cos(0.76034347) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.724599344141759 × 6371000     		du = 442.576417551806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76041293)-sin(0.76034347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724551472620337-0.724599344141759)×R²
    abs(-0.01227185--0.01236772)×4.78715214217162e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78715214217162e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78715214217162e-05×40589641000000     		ar = 195846.722024372m²