Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32638 / 22151
↖ ↑ ↗
← N 50.264765°
W  0.714111°		 ← 390.44 m → N 50.264765°
W  0.708618°		 →
↑
390.41 m
↓
↑
390.41 m
↓
N 50.261254°
W  0.714111°		 ← 390.47 m →
152 439 m²		 N 50.261254°
W  0.708618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498023986816406 y=0.338005065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498023986816406 × 216)
    floor (0.498023986816406 × 65536)
    floor (32638.5)     		tx = 32638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338005065917969 × 216)
    floor (0.338005065917969 × 65536)
    floor (22151.5)     		ty = 22151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32638 / 22151 ti = "16/32638/22151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32638/22151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32638 ÷ 216
    32638 ÷ 65536     		x = 0.498016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22151 ÷ 216
    22151 ÷ 65536     		y = 0.337997436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498016357421875 × 2 - 1) × π
    -0.00396728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01246359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337997436523438 × 2 - 1) × π
    0.324005126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01789212653227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01246359} λ = -0.01246359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01789212653227))-π/2
    2×atan(2.76735537680722)-π/2
    2×1.22404099047805-π/2
    2.44808198095609-1.57079632675     		φ = 0.87728565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01246359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87728565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.264765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32638 KachelY 22151 -0.01246359 0.87728565 -0.714111 50.264765
    Oben rechts KachelX + 1 32639 KachelY 22151 -0.01236772 0.87728565 -0.708618 50.264765
    Unten links KachelX 32638 KachelY + 1 22152 -0.01246359 0.87722437 -0.714111 50.261254
    Unten rechts KachelX + 1 32639 KachelY + 1 22152 -0.01236772 0.87722437 -0.708618 50.261254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87728565-0.87722437) × R
    6.12800000000524e-05 × 6371000     		dl = 390.414880000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87728565-0.87722437) × R
    6.12800000000524e-05 × 6371000     		dr = 390.414880000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01246359--0.01236772) × cos(0.87728565) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.63924084953908 × 6371000     		do = 390.440492982879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01246359--0.01236772) × cos(0.87722437) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.639287973062668 × 6371000     		du = 390.469275454766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87728565)-sin(0.87722437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63924084953908-0.639287973062668)×R²
    abs(-0.01236772--0.01246359)×4.71235235874889e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.71235235874889e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.71235235874889e-05×40589641000000     		ar = 152439.396815536m²