Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32637 / 22167
↖ ↑ ↗
← N 50.208549°
W  0.719605°		 ← 390.94 m → N 50.208549°
W  0.714111°		 →
↑
390.92 m
↓
↑
390.92 m
↓
N 50.205033°
W  0.719605°		 ← 390.97 m →
152 834 m²		 N 50.205033°
W  0.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498008728027344 y=0.338249206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498008728027344 × 216)
    floor (0.498008728027344 × 65536)
    floor (32637.5)     		tx = 32637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338249206542969 × 216)
    floor (0.338249206542969 × 65536)
    floor (22167.5)     		ty = 22167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32637 / 22167 ti = "16/32637/22167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32637/22167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32637 ÷ 216
    32637 ÷ 65536     		x = 0.498001098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22167 ÷ 216
    22167 ÷ 65536     		y = 0.338241577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498001098632812 × 2 - 1) × π
    -0.003997802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01255947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338241577148438 × 2 - 1) × π
    0.323516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01635814574443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01255947} λ = -0.01255947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01635814574443))-π/2
    2×atan(2.76311356108976)-π/2
    2×1.22355040967033-π/2
    2.44710081934066-1.57079632675     		φ = 0.87630449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01255947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.719605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87630449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.208549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32637 KachelY 22167 -0.01255947 0.87630449 -0.719605 50.208549
    Oben rechts KachelX + 1 32638 KachelY 22167 -0.01246359 0.87630449 -0.714111 50.208549
    Unten links KachelX 32637 KachelY + 1 22168 -0.01255947 0.87624313 -0.719605 50.205033
    Unten rechts KachelX + 1 32638 KachelY + 1 22168 -0.01246359 0.87624313 -0.714111 50.205033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87630449-0.87624313) × R
    6.13600000000103e-05 × 6371000     		dl = 390.924560000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87630449-0.87624313) × R
    6.13600000000103e-05 × 6371000     		dr = 390.924560000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01255947--0.01246359) × cos(0.87630449) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.639995060233836 × 6371000     		do = 390.941929736526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01255947--0.01246359) × cos(0.87624313) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.640042206765847 × 6371000     		du = 390.970729265382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87630449)-sin(0.87624313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639995060233836-0.640042206765847)×R²
    abs(-0.01246359--0.01255947)×4.71465320107667e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.71465320107667e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.71465320107667e-05×40589641000000     		ar = 152834.431137503m²