Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32632 / 22840
↖ ↑ ↗
← N 47.783634°
W  0.747071°		 ← 410.45 m → N 47.783634°
W  0.741577°		 →
↑
410.42 m
↓
↑
410.42 m
↓
N 47.779943°
W  0.747071°		 ← 410.48 m →
168 463 m²		 N 47.779943°
W  0.741577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497932434082031 y=0.348518371582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497932434082031 × 216)
    floor (0.497932434082031 × 65536)
    floor (32632.5)     		tx = 32632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348518371582031 × 216)
    floor (0.348518371582031 × 65536)
    floor (22840.5)     		ty = 22840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32632 / 22840 ti = "16/32632/22840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32632/22840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32632 ÷ 216
    32632 ÷ 65536     		x = 0.4979248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22840 ÷ 216
    22840 ÷ 65536     		y = 0.3485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4979248046875 × 2 - 1) × π
    -0.004150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01303884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3485107421875 × 2 - 1) × π
    0.302978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.951835078855835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01303884} λ = -0.01303884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951835078855835))-π/2
    2×atan(2.5904589968106)-π/2
    2×1.20238903986598-π/2
    2.40477807973197-1.57079632675     		φ = 0.83398175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01303884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.747071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83398175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.783634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32632 KachelY 22840 -0.01303884 0.83398175 -0.747071 47.783634
    Oben rechts KachelX + 1 32633 KachelY 22840 -0.01294296 0.83398175 -0.741577 47.783634
    Unten links KachelX 32632 KachelY + 1 22841 -0.01303884 0.83391733 -0.747071 47.779943
    Unten rechts KachelX + 1 32633 KachelY + 1 22841 -0.01294296 0.83391733 -0.741577 47.779943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83398175-0.83391733) × R
    6.4419999999954e-05 × 6371000     		dl = 410.419819999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83398175-0.83391733) × R
    6.4419999999954e-05 × 6371000     		dr = 410.419819999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01303884--0.01294296) × cos(0.83398175) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.671932159752895 × 6371000     		do = 410.45075424465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01303884--0.01294296) × cos(0.83391733) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.671979868628814 × 6371000     		du = 410.479897282115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83398175)-sin(0.83391733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671932159752895-0.671979868628814)×R²
    abs(-0.01294296--0.01303884)×4.77088759190947e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77088759190947e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77088759190947e-05×40589641000000     		ar = 168463.105174132m²