Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32631 / 24053
↖ ↑ ↗
← N 43.113014°
W  0.752563°		 ← 445.88 m → N 43.113014°
W  0.747071°		 →
↑
445.91 m
↓
↑
445.91 m
↓
N 43.109004°
W  0.752563°		 ← 445.91 m →
198 827 m²		 N 43.109004°
W  0.747071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497917175292969 y=0.367027282714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497917175292969 × 216)
    floor (0.497917175292969 × 65536)
    floor (32631.5)     		tx = 32631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367027282714844 × 216)
    floor (0.367027282714844 × 65536)
    floor (24053.5)     		ty = 24053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32631 / 24053 ti = "16/32631/24053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32631/24053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32631 ÷ 216
    32631 ÷ 65536     		x = 0.497909545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24053 ÷ 216
    24053 ÷ 65536     		y = 0.367019653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497909545898438 × 2 - 1) × π
    -0.004180908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01313471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367019653320312 × 2 - 1) × π
    0.265960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.835540160377579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01313471} λ = -0.01313471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835540160377579))-π/2
    2×atan(2.30605935381566)-π/2
    2×1.16163018754982-π/2
    2.32326037509964-1.57079632675     		φ = 0.75246405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01313471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.752563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75246405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.113014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32631 KachelY 24053 -0.01313471 0.75246405 -0.752563 43.113014
    Oben rechts KachelX + 1 32632 KachelY 24053 -0.01303884 0.75246405 -0.747071 43.113014
    Unten links KachelX 32631 KachelY + 1 24054 -0.01313471 0.75239406 -0.752563 43.109004
    Unten rechts KachelX + 1 32632 KachelY + 1 24054 -0.01303884 0.75239406 -0.747071 43.109004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75246405-0.75239406) × R
    6.99900000000753e-05 × 6371000     		dl = 445.90629000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75246405-0.75239406) × R
    6.99900000000753e-05 × 6371000     		dr = 445.90629000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01313471--0.01303884) × cos(0.75246405) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.730007057347931 × 6371000     		do = 445.879382641811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01313471--0.01303884) × cos(0.75239406) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.73005488949797 × 6371000     		du = 445.908597934068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75246405)-sin(0.75239406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730007057347931-0.73005488949797)×R²
    abs(-0.01303884--0.01313471)×4.78321500386736e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.78321500386736e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.78321500386736e-05×40589641000000     		ar = 198826.935023676m²