Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32629 / 24020
↖ ↑ ↗
← N 43.245203°
W  0.763550°		 ← 444.96 m → N 43.245203°
W  0.758056°		 →
↑
444.95 m
↓
↑
444.95 m
↓
N 43.241201°
W  0.763550°		 ← 444.99 m →
197 992 m²		 N 43.241201°
W  0.758056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497886657714844 y=0.366523742675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497886657714844 × 216)
    floor (0.497886657714844 × 65536)
    floor (32629.5)     		tx = 32629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366523742675781 × 216)
    floor (0.366523742675781 × 65536)
    floor (24020.5)     		ty = 24020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32629 / 24020 ti = "16/32629/24020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32629/24020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32629 ÷ 216
    32629 ÷ 65536     		x = 0.497879028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24020 ÷ 216
    24020 ÷ 65536     		y = 0.36651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497879028320312 × 2 - 1) × π
    -0.004241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01332646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36651611328125 × 2 - 1) × π
    0.2669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.838703995752502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01332646} λ = -0.01332646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838703995752502))-π/2
    2×atan(2.31336689981658)-π/2
    2×1.16278374998467-π/2
    2.32556749996933-1.57079632675     		φ = 0.75477117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01332646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.763550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75477117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.245203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32629 KachelY 24020 -0.01332646 0.75477117 -0.763550 43.245203
    Oben rechts KachelX + 1 32630 KachelY 24020 -0.01323058 0.75477117 -0.758056 43.245203
    Unten links KachelX 32629 KachelY + 1 24021 -0.01332646 0.75470133 -0.763550 43.241201
    Unten rechts KachelX + 1 32630 KachelY + 1 24021 -0.01323058 0.75470133 -0.758056 43.241201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75477117-0.75470133) × R
    6.98400000000987e-05 × 6371000     		dl = 444.950640000629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75477117-0.75470133) × R
    6.98400000000987e-05 × 6371000     		dr = 444.950640000629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01332646--0.01323058) × cos(0.75477117) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.728428338720065 × 6371000     		do = 444.961528781091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01332646--0.01323058) × cos(0.75470133) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.728476185864029 × 6371000     		du = 444.990756279796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75477117)-sin(0.75470133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728428338720065-0.728476185864029)×R²
    abs(-0.01323058--0.01332646)×4.78471439645523e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78471439645523e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78471439645523e-05×40589641000000     		ar = 197992.419484299m²