Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32624 / 24024
↖ ↑ ↗
← N 43.229195°
W  0.791016°		 ← 445.08 m → N 43.229195°
W  0.785522°		 →
↑
445.08 m
↓
↑
445.08 m
↓
N 43.225193°
W  0.791016°		 ← 445.11 m →
198 101 m²		 N 43.225193°
W  0.785522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497810363769531 y=0.366584777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497810363769531 × 216)
    floor (0.497810363769531 × 65536)
    floor (32624.5)     		tx = 32624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366584777832031 × 216)
    floor (0.366584777832031 × 65536)
    floor (24024.5)     		ty = 24024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32624 / 24024 ti = "16/32624/24024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32624/24024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32624 ÷ 216
    32624 ÷ 65536     		x = 0.497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24024 ÷ 216
    24024 ÷ 65536     		y = 0.3665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3665771484375 × 2 - 1) × π
    0.266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.838320500555542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01380583} λ = -0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838320500555542))-π/2
    2×atan(2.31247990481173)-π/2
    2×1.16264405725159-π/2
    2.32528811450317-1.57079632675     		φ = 0.75449179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75449179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.229195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32624 KachelY 24024 -0.01380583 0.75449179 -0.791016 43.229195
    Oben rechts KachelX + 1 32625 KachelY 24024 -0.01370995 0.75449179 -0.785522 43.229195
    Unten links KachelX 32624 KachelY + 1 24025 -0.01380583 0.75442193 -0.791016 43.225193
    Unten rechts KachelX + 1 32625 KachelY + 1 24025 -0.01370995 0.75442193 -0.785522 43.225193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75449179-0.75442193) × R
    6.98599999999772e-05 × 6371000     		dl = 445.078059999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75449179-0.75442193) × R
    6.98599999999772e-05 × 6371000     		dr = 445.078059999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01380583--0.01370995) × cos(0.75449179) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.728619719673954 × 6371000     		do = 445.078434120018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01380583--0.01370995) × cos(0.75442193) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.728667566299916 × 6371000     		du = 445.1076613023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75449179)-sin(0.75442193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728619719673954-0.728667566299916)×R²
    abs(-0.01370995--0.01380583)×4.78466259615784e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78466259615784e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78466259615784e-05×40589641000000     		ar = 198101.150275167m²