Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32624 / 22800
↖ ↑ ↗
← N 47.931066°
W  0.791016°		 ← 409.29 m → N 47.931066°
W  0.785522°		 →
↑
409.27 m
↓
↑
409.27 m
↓
N 47.927386°
W  0.791016°		 ← 409.31 m →
167 515 m²		 N 47.927386°
W  0.785522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497810363769531 y=0.347908020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497810363769531 × 216)
    floor (0.497810363769531 × 65536)
    floor (32624.5)     		tx = 32624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347908020019531 × 216)
    floor (0.347908020019531 × 65536)
    floor (22800.5)     		ty = 22800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32624 / 22800 ti = "16/32624/22800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32624/22800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32624 ÷ 216
    32624 ÷ 65536     		x = 0.497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22800 ÷ 216
    22800 ÷ 65536     		y = 0.347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347900390625 × 2 - 1) × π
    0.30419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.955670030825439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01380583} λ = -0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955670030825439))-π/2
    2×atan(2.60041235577083)-π/2
    2×1.20367562426625-π/2
    2.40735124853249-1.57079632675     		φ = 0.83655492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83655492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.931066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32624 KachelY 22800 -0.01380583 0.83655492 -0.791016 47.931066
    Oben rechts KachelX + 1 32625 KachelY 22800 -0.01370995 0.83655492 -0.785522 47.931066
    Unten links KachelX 32624 KachelY + 1 22801 -0.01380583 0.83649068 -0.791016 47.927386
    Unten rechts KachelX + 1 32625 KachelY + 1 22801 -0.01370995 0.83649068 -0.785522 47.927386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83655492-0.83649068) × R
    6.42399999999377e-05 × 6371000     		dl = 409.273039999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83655492-0.83649068) × R
    6.42399999999377e-05 × 6371000     		dr = 409.273039999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01380583--0.01370995) × cos(0.83655492) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.670024214973752 × 6371000     		do = 409.285283352553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01380583--0.01370995) × cos(0.83649068) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.670071901464154 × 6371000     		du = 409.314412715791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83655492)-sin(0.83649068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670024214973752-0.670071901464154)×R²
    abs(-0.01370995--0.01380583)×4.7686490401877e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7686490401877e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7686490401877e-05×40589641000000     		ar = 167515.393134252m²