Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32624 / 22768
↖ ↑ ↗
← N 48.048710°
W  0.791016°		 ← 408.35 m → N 48.048710°
W  0.785522°		 →
↑
408.32 m
↓
↑
408.32 m
↓
N 48.045038°
W  0.791016°		 ← 408.38 m →
166 744 m²		 N 48.045038°
W  0.785522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497810363769531 y=0.347419738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497810363769531 × 216)
    floor (0.497810363769531 × 65536)
    floor (32624.5)     		tx = 32624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347419738769531 × 216)
    floor (0.347419738769531 × 65536)
    floor (22768.5)     		ty = 22768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32624 / 22768 ti = "16/32624/22768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32624/22768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32624 ÷ 216
    32624 ÷ 65536     		x = 0.497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22768 ÷ 216
    22768 ÷ 65536     		y = 0.347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347412109375 × 2 - 1) × π
    0.30517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01380583} λ = -0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958737992401123))-π/2
    2×atan(2.60840257152948)-π/2
    2×1.20470225830785-π/2
    2.40940451661569-1.57079632675     		φ = 0.83860819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83860819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.048710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32624 KachelY 22768 -0.01380583 0.83860819 -0.791016 48.048710
    Oben rechts KachelX + 1 32625 KachelY 22768 -0.01370995 0.83860819 -0.785522 48.048710
    Unten links KachelX 32624 KachelY + 1 22769 -0.01380583 0.83854410 -0.791016 48.045038
    Unten rechts KachelX + 1 32625 KachelY + 1 22769 -0.01370995 0.83854410 -0.785522 48.045038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83860819-0.83854410) × R
    6.40899999999611e-05 × 6371000     		dl = 408.317389999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83860819-0.83854410) × R
    6.40899999999611e-05 × 6371000     		dr = 408.317389999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01380583--0.01370995) × cos(0.83860819) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.668498580764785 × 6371000     		do = 408.353347438067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01380583--0.01370995) × cos(0.83854410) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.668546243984748 × 6371000     		du = 408.382462586522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83860819)-sin(0.83854410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668498580764785-0.668546243984748)×R²
    abs(-0.01370995--0.01380583)×4.76632199628568e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.76632199628568e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.76632199628568e-05×40589641000000     		ar = 166743.717191437m²