Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32623 / 24005
↖ ↑ ↗
← N 43.305194°
W  0.796509°		 ← 444.48 m → N 43.305194°
W  0.791016°		 →
↑
444.57 m
↓
↑
444.57 m
↓
N 43.301196°
W  0.796509°		 ← 444.51 m →
197 607 m²		 N 43.301196°
W  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497795104980469 y=0.366294860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497795104980469 × 216)
    floor (0.497795104980469 × 65536)
    floor (32623.5)     		tx = 32623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366294860839844 × 216)
    floor (0.366294860839844 × 65536)
    floor (24005.5)     		ty = 24005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32623 / 24005 ti = "16/32623/24005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32623/24005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32623 ÷ 216
    32623 ÷ 65536     		x = 0.497787475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24005 ÷ 216
    24005 ÷ 65536     		y = 0.366287231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497787475585938 × 2 - 1) × π
    -0.004425048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01390170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366287231445312 × 2 - 1) × π
    0.267425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.840142102741104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01390170} λ = -0.01390170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840142102741104))-π/2
    2×atan(2.31669616226642)-π/2
    2×1.16330727088033-π/2
    2.32661454176065-1.57079632675     		φ = 0.75581822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01390170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.796509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75581822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.305194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32623 KachelY 24005 -0.01390170 0.75581822 -0.796509 43.305194
    Oben rechts KachelX + 1 32624 KachelY 24005 -0.01380583 0.75581822 -0.791016 43.305194
    Unten links KachelX 32623 KachelY + 1 24006 -0.01390170 0.75574844 -0.796509 43.301196
    Unten rechts KachelX + 1 32624 KachelY + 1 24006 -0.01380583 0.75574844 -0.791016 43.301196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75581822-0.75574844) × R
    6.97800000000193e-05 × 6371000     		dl = 444.568380000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75581822-0.75574844) × R
    6.97800000000193e-05 × 6371000     		dr = 444.568380000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01390170--0.01380583) × cos(0.75581822) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.727710582567736 × 6371000     		do = 444.476723931947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01390170--0.01380583) × cos(0.75574844) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.727758441804231 × 6371000     		du = 444.50595576828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75581822)-sin(0.75574844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727710582567736-0.727758441804231)×R²
    abs(-0.01380583--0.01390170)×4.78592364954178e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78592364954178e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78592364954178e-05×40589641000000     		ar = 197606.794961342m²