Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32619 / 23946
↖ ↑ ↗
← N 43.540585°
W  0.818482°		 ← 442.80 m → N 43.540585°
W  0.812988°		 →
↑
442.78 m
↓
↑
442.78 m
↓
N 43.536603°
W  0.818482°		 ← 442.83 m →
196 071 m²		 N 43.536603°
W  0.812988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497734069824219 y=0.365394592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497734069824219 × 216)
    floor (0.497734069824219 × 65536)
    floor (32619.5)     		tx = 32619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365394592285156 × 216)
    floor (0.365394592285156 × 65536)
    floor (23946.5)     		ty = 23946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32619 / 23946 ti = "16/32619/23946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32619/23946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32619 ÷ 216
    32619 ÷ 65536     		x = 0.497726440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23946 ÷ 216
    23946 ÷ 65536     		y = 0.365386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497726440429688 × 2 - 1) × π
    -0.004547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01428520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365386962890625 × 2 - 1) × π
    0.26922607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.845798656896271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01428520} λ = -0.01428520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.845798656896271))-π/2
    2×atan(2.32983781275753)-π/2
    2×1.16536144484546-π/2
    2.33072288969091-1.57079632675     		φ = 0.75992656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01428520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.818482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75992656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.540585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32619 KachelY 23946 -0.01428520 0.75992656 -0.818482 43.540585
    Oben rechts KachelX + 1 32620 KachelY 23946 -0.01418932 0.75992656 -0.812988 43.540585
    Unten links KachelX 32619 KachelY + 1 23947 -0.01428520 0.75985706 -0.818482 43.536603
    Unten rechts KachelX + 1 32620 KachelY + 1 23947 -0.01418932 0.75985706 -0.812988 43.536603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75992656-0.75985706) × R
    6.95000000000556e-05 × 6371000     		dl = 442.784500000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75992656-0.75985706) × R
    6.95000000000556e-05 × 6371000     		dr = 442.784500000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01428520--0.01418932) × cos(0.75992656) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.724886603177111 × 6371000     		do = 442.798054382909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01428520--0.01418932) × cos(0.75985706) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.724934477767066 × 6371000     		du = 442.827298647037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75992656)-sin(0.75985706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724886603177111-0.724934477767066)×R²
    abs(-0.01418932--0.01428520)×4.78745899548105e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78745899548105e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78745899548105e-05×40589641000000     		ar = 196070.589643569m²