Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32617 / 24056
↖ ↑ ↗
← N 43.100983°
W  0.829468°		 ← 445.97 m → N 43.100983°
W  0.823975°		 →
↑
445.97 m
↓
↑
445.97 m
↓
N 43.096972°
W  0.829468°		 ← 446 m →
198 894 m²		 N 43.096972°
W  0.823975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497703552246094 y=0.367073059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497703552246094 × 216)
    floor (0.497703552246094 × 65536)
    floor (32617.5)     		tx = 32617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367073059082031 × 216)
    floor (0.367073059082031 × 65536)
    floor (24056.5)     		ty = 24056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32617 / 24056 ti = "16/32617/24056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32617/24056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32617 ÷ 216
    32617 ÷ 65536     		x = 0.497695922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24056 ÷ 216
    24056 ÷ 65536     		y = 0.3670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497695922851562 × 2 - 1) × π
    -0.004608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01447694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3670654296875 × 2 - 1) × π
    0.265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.835252538979858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01447694} λ = -0.01447694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835252538979858))-π/2
    2×atan(2.30539617717755)-π/2
    2×1.16152519440633-π/2
    2.32305038881265-1.57079632675     		φ = 0.75225406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01447694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.829468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75225406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.100983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32617 KachelY 24056 -0.01447694 0.75225406 -0.829468 43.100983
    Oben rechts KachelX + 1 32618 KachelY 24056 -0.01438107 0.75225406 -0.823975 43.100983
    Unten links KachelX 32617 KachelY + 1 24057 -0.01447694 0.75218406 -0.829468 43.096972
    Unten rechts KachelX + 1 32618 KachelY + 1 24057 -0.01438107 0.75218406 -0.823975 43.096972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75225406-0.75218406) × R
    6.99999999999035e-05 × 6371000     		dl = 445.969999999385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75225406-0.75218406) × R
    6.99999999999035e-05 × 6371000     		dr = 445.969999999385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01447694--0.01438107) × cos(0.75225406) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.730150556734798 × 6371000     		do = 445.967030312312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01447694--0.01438107) × cos(0.75218406) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.730198384986723 × 6371000     		du = 445.996243223648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75225406)-sin(0.75218406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730150556734798-0.730198384986723)×R²
    abs(-0.01438107--0.01447694)×4.78282519246198e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.78282519246198e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.78282519246198e-05×40589641000000     		ar = 198894.43063031m²