Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32617 / 22826
↖ ↑ ↗
← N 47.835283°
W  0.829468°		 ← 410 m → N 47.835283°
W  0.823975°		 →
↑
409.97 m
↓
↑
409.97 m
↓
N 47.831596°
W  0.829468°		 ← 410.03 m →
168 095 m²		 N 47.831596°
W  0.823975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497703552246094 y=0.348304748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497703552246094 × 216)
    floor (0.497703552246094 × 65536)
    floor (32617.5)     		tx = 32617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348304748535156 × 216)
    floor (0.348304748535156 × 65536)
    floor (22826.5)     		ty = 22826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32617 / 22826 ti = "16/32617/22826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32617/22826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32617 ÷ 216
    32617 ÷ 65536     		x = 0.497695922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22826 ÷ 216
    22826 ÷ 65536     		y = 0.348297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497695922851562 × 2 - 1) × π
    -0.004608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01447694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348297119140625 × 2 - 1) × π
    0.30340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.953177312045197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01447694} λ = -0.01447694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953177312045197))-π/2
    2×atan(2.5939383313686)-π/2
    2×1.20283976056415-π/2
    2.40567952112831-1.57079632675     		φ = 0.83488319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01447694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.829468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83488319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.835283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32617 KachelY 22826 -0.01447694 0.83488319 -0.829468 47.835283
    Oben rechts KachelX + 1 32618 KachelY 22826 -0.01438107 0.83488319 -0.823975 47.835283
    Unten links KachelX 32617 KachelY + 1 22827 -0.01447694 0.83481884 -0.829468 47.831596
    Unten rechts KachelX + 1 32618 KachelY + 1 22827 -0.01438107 0.83481884 -0.823975 47.831596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83488319-0.83481884) × R
    6.43500000000463e-05 × 6371000     		dl = 409.973850000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83488319-0.83481884) × R
    6.43500000000463e-05 × 6371000     		dr = 409.973850000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01447694--0.01438107) × cos(0.83488319) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.671264268926213 × 6371000     		do = 410.000005898128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01447694--0.01438107) × cos(0.83481884) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.6713119649215 × 6371000     		du = 410.029138028727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83488319)-sin(0.83481884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671264268926213-0.6713119649215)×R²
    abs(-0.01438107--0.01447694)×4.76959952876443e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.76959952876443e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.76959952876443e-05×40589641000000     		ar = 168095.252682038m²