Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32616 / 24055
↖ ↑ ↗
← N 43.104993°
W  0.834961°		 ← 445.98 m → N 43.104993°
W  0.829468°		 →
↑
445.97 m
↓
↑
445.97 m
↓
N 43.100983°
W  0.834961°		 ← 446.01 m →
198 902 m²		 N 43.100983°
W  0.829468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497688293457031 y=0.367057800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497688293457031 × 216)
    floor (0.497688293457031 × 65536)
    floor (32616.5)     		tx = 32616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367057800292969 × 216)
    floor (0.367057800292969 × 65536)
    floor (24055.5)     		ty = 24055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32616 / 24055 ti = "16/32616/24055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32616/24055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32616 ÷ 216
    32616 ÷ 65536     		x = 0.4976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24055 ÷ 216
    24055 ÷ 65536     		y = 0.367050170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01457282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367050170898438 × 2 - 1) × π
    0.265899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.835348412779099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01457282} λ = -0.01457282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835348412779099))-π/2
    2×atan(2.30561721486351)-π/2
    2×1.16156019441375-π/2
    2.3231203888275-1.57079632675     		φ = 0.75232406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01457282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75232406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.104993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32616 KachelY 24055 -0.01457282 0.75232406 -0.834961 43.104993
    Oben rechts KachelX + 1 32617 KachelY 24055 -0.01447694 0.75232406 -0.829468 43.104993
    Unten links KachelX 32616 KachelY + 1 24056 -0.01457282 0.75225406 -0.834961 43.100983
    Unten rechts KachelX + 1 32617 KachelY + 1 24056 -0.01447694 0.75225406 -0.829468 43.100983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75232406-0.75225406) × R
    7.00000000000145e-05 × 6371000     		dl = 445.970000000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75232406-0.75225406) × R
    7.00000000000145e-05 × 6371000     		dr = 445.970000000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01457282--0.01447694) × cos(0.75232406) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.730102724905136 × 6371000     		do = 445.984330060333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01457282--0.01447694) × cos(0.75225406) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.730150556734798 × 6371000     		du = 446.013548204273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75232406)-sin(0.75225406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730102724905136-0.730150556734798)×R²
    abs(-0.01447694--0.01457282)×4.78318296623925e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78318296623925e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78318296623925e-05×40589641000000     		ar = 198902.146966403m²