Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32616 / 22872
↖ ↑ ↗
← N 47.665387°
W  0.834961°		 ← 411.38 m → N 47.665387°
W  0.829468°		 →
↑
411.38 m
↓
↑
411.38 m
↓
N 47.661688°
W  0.834961°		 ← 411.41 m →
169 239 m²		 N 47.661688°
W  0.829468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497688293457031 y=0.349006652832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497688293457031 × 216)
    floor (0.497688293457031 × 65536)
    floor (32616.5)     		tx = 32616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349006652832031 × 216)
    floor (0.349006652832031 × 65536)
    floor (22872.5)     		ty = 22872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32616 / 22872 ti = "16/32616/22872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32616/22872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32616 ÷ 216
    32616 ÷ 65536     		x = 0.4976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22872 ÷ 216
    22872 ÷ 65536     		y = 0.3489990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01457282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3489990234375 × 2 - 1) × π
    0.302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.948767117280151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01457282} λ = -0.01457282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.948767117280151))-π/2
    2×atan(2.58252374689007)-π/2
    2×1.2013571376915-π/2
    2.40271427538301-1.57079632675     		φ = 0.83191795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01457282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83191795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.665387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32616 KachelY 22872 -0.01457282 0.83191795 -0.834961 47.665387
    Oben rechts KachelX + 1 32617 KachelY 22872 -0.01447694 0.83191795 -0.829468 47.665387
    Unten links KachelX 32616 KachelY + 1 22873 -0.01457282 0.83185338 -0.834961 47.661688
    Unten rechts KachelX + 1 32617 KachelY + 1 22873 -0.01447694 0.83185338 -0.829468 47.661688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83191795-0.83185338) × R
    6.45700000000415e-05 × 6371000     		dl = 411.375470000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83191795-0.83185338) × R
    6.45700000000415e-05 × 6371000     		dr = 411.375470000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01457282--0.01447694) × cos(0.83191795) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.673459204190033 × 6371000     		do = 411.383551599102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01457282--0.01447694) × cos(0.83185338) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.673506934505007 × 6371000     		du = 411.412707732645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83191795)-sin(0.83185338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673459204190033-0.673506934505007)×R²
    abs(-0.01447694--0.01457282)×4.77303149739594e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.77303149739594e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.77303149739594e-05×40589641000000     		ar = 169239.099007239m²