Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32615 / 24058
↖ ↑ ↗
← N 43.092961°
W  0.840454°		 ← 446.03 m → N 43.092961°
W  0.834961°		 →
↑
446.10 m
↓
↑
446.10 m
↓
N 43.088949°
W  0.840454°		 ← 446.05 m →
198 977 m²		 N 43.088949°
W  0.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497673034667969 y=0.367103576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497673034667969 × 216)
    floor (0.497673034667969 × 65536)
    floor (32615.5)     		tx = 32615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367103576660156 × 216)
    floor (0.367103576660156 × 65536)
    floor (24058.5)     		ty = 24058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32615 / 24058 ti = "16/32615/24058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32615/24058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32615 ÷ 216
    32615 ÷ 65536     		x = 0.497665405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24058 ÷ 216
    24058 ÷ 65536     		y = 0.367095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497665405273438 × 2 - 1) × π
    -0.004669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01466869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367095947265625 × 2 - 1) × π
    0.26580810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.835060791381378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01466869} λ = -0.01466869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835060791381378))-π/2
    2×atan(2.30495416537574)-π/2
    2×1.1614551875128-π/2
    2.32291037502559-1.57079632675     		φ = 0.75211405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01466869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.840454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75211405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.092961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32615 KachelY 24058 -0.01466869 0.75211405 -0.840454 43.092961
    Oben rechts KachelX + 1 32616 KachelY 24058 -0.01457282 0.75211405 -0.834961 43.092961
    Unten links KachelX 32615 KachelY + 1 24059 -0.01466869 0.75204403 -0.840454 43.088949
    Unten rechts KachelX + 1 32616 KachelY + 1 24059 -0.01457282 0.75204403 -0.834961 43.088949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75211405-0.75204403) × R
    7.0020000000004e-05 × 6371000     		dl = 446.097420000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75211405-0.75204403) × R
    7.0020000000004e-05 × 6371000     		dr = 446.097420000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01466869--0.01457282) × cos(0.75211405) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.730246216492516 × 6371000     		do = 446.025458122399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01466869--0.01457282) × cos(0.75204403) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.73029405125041 × 6371000     		du = 446.054675007502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75211405)-sin(0.75204403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730246216492516-0.73029405125041)×R²
    abs(-0.01457282--0.01466869)×4.78347578937166e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78347578937166e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78347578937166e-05×40589641000000     		ar = 198977.32299257m²