Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32615 / 24057
↖ ↑ ↗
← N 43.096972°
W  0.840454°		 ← 446 m → N 43.096972°
W  0.834961°		 →
↑
446.03 m
↓
↑
446.03 m
↓
N 43.092961°
W  0.840454°		 ← 446.03 m →
198 936 m²		 N 43.092961°
W  0.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497673034667969 y=0.367088317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497673034667969 × 216)
    floor (0.497673034667969 × 65536)
    floor (32615.5)     		tx = 32615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367088317871094 × 216)
    floor (0.367088317871094 × 65536)
    floor (24057.5)     		ty = 24057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32615 / 24057 ti = "16/32615/24057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32615/24057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32615 ÷ 216
    32615 ÷ 65536     		x = 0.497665405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24057 ÷ 216
    24057 ÷ 65536     		y = 0.367080688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497665405273438 × 2 - 1) × π
    -0.004669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01466869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367080688476562 × 2 - 1) × π
    0.265838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.835156665180618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01466869} λ = -0.01466869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.835156665180618))-π/2
    2×atan(2.30517516068231)-π/2
    2×1.161490192106-π/2
    2.322980384212-1.57079632675     		φ = 0.75218406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01466869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.840454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75218406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.096972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32615 KachelY 24057 -0.01466869 0.75218406 -0.840454 43.096972
    Oben rechts KachelX + 1 32616 KachelY 24057 -0.01457282 0.75218406 -0.834961 43.096972
    Unten links KachelX 32615 KachelY + 1 24058 -0.01466869 0.75211405 -0.840454 43.092961
    Unten rechts KachelX + 1 32616 KachelY + 1 24058 -0.01457282 0.75211405 -0.834961 43.092961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75218406-0.75211405) × R
    7.00100000000647e-05 × 6371000     		dl = 446.033710000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75218406-0.75211405) × R
    7.00100000000647e-05 × 6371000     		dr = 446.033710000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01466869--0.01457282) × cos(0.75218406) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.730198384986723 × 6371000     		do = 445.99624322364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01466869--0.01457282) × cos(0.75211405) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.730246216492516 × 6371000     		du = 446.025458122399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75218406)-sin(0.75211405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730198384986723-0.730246216492516)×R²
    abs(-0.01457282--0.01466869)×4.78315057933498e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.78315057933498e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.78315057933498e-05×40589641000000     		ar = 198935.874507237m²