Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32614 / 22820
N 47.857403°
W  0.845948°
← 409.87 m → N 47.857403°
W  0.840454°

409.85 m

409.85 m
N 47.853717°
W  0.845948°
← 409.90 m →
167 989 m²
N 47.853717°
W  0.840454°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497657775878906 y=0.348213195800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497657775878906 × 216)
    floor (0.497657775878906 × 65536)
    floor (32614.5)
    tx = 32614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348213195800781 × 216)
    floor (0.348213195800781 × 65536)
    floor (22820.5)
    ty = 22820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32614 / 22820 ti = "16/32614/22820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32614/22820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32614 ÷ 216
    32614 ÷ 65536
    x = 0.497650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22820 ÷ 216
    22820 ÷ 65536
    y = 0.34820556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.497650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.00469970703125 × 3.1415926535
    Λ = -0.01476457
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.34820556640625 × 2 - 1) × π
    0.3035888671875 × 3.1415926535
    Φ = 0.953752554840637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01476457} λ = -0.01476457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953752554840637))-π/2
    2×atan(2.59543090496048)-π/2
    2×1.20303278937093-π/2
    2.40606557874186-1.57079632675
    φ = 0.83526925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01476457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.845948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83526925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.857403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32614 KachelY 22820 -0.01476457 0.83526925 -0.845948 47.857403
    Oben rechts KachelX + 1 32615 KachelY 22820 -0.01466869 0.83526925 -0.840454 47.857403
    Unten links KachelX 32614 KachelY + 1 22821 -0.01476457 0.83520492 -0.845948 47.853717
    Unten rechts KachelX + 1 32615 KachelY + 1 22821 -0.01466869 0.83520492 -0.840454 47.853717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.83526925-0.83520492) × R
    6.43299999999458e-05 × 6371000
    dl = 409.846429999655m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.83526925-0.83520492) × R
    6.43299999999458e-05 × 6371000
    dr = 409.846429999655m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01476457--0.01466869) × cos(0.83526925) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.67097806424777 × 6371000
    do = 409.867943593283m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01476457--0.01466869) × cos(0.83520492) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.671025762087606 × 6371000
    du = 409.89707988934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.83526925)-sin(0.83520492))×
    abs(λ12)×abs(0.67097806424777-0.671025762087606)×
    abs(-0.01466869--0.01476457)×4.76978398367134e-05×
    9.58799999999996e-05×4.76978398367134e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.76978398367134e-05×40589641000000
    ar = 167988.884214804m²