Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32613 / 22823
↖ ↑ ↗
← N 47.846344°
W  0.851440°		 ← 409.91 m → N 47.846344°
W  0.845948°		 →
↑
409.91 m
↓
↑
409.91 m
↓
N 47.842658°
W  0.851440°		 ← 409.94 m →
168 033 m²		 N 47.842658°
W  0.845948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497642517089844 y=0.348258972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497642517089844 × 216)
    floor (0.497642517089844 × 65536)
    floor (32613.5)     		tx = 32613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348258972167969 × 216)
    floor (0.348258972167969 × 65536)
    floor (22823.5)     		ty = 22823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32613 / 22823 ti = "16/32613/22823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32613/22823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32613 ÷ 216
    32613 ÷ 65536     		x = 0.497634887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22823 ÷ 216
    22823 ÷ 65536     		y = 0.348251342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497634887695312 × 2 - 1) × π
    -0.004730224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01486044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348251342773438 × 2 - 1) × π
    0.303497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.953464933442917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01486044} λ = -0.01486044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953464933442917))-π/2
    2×atan(2.59468451084052)-π/2
    2×1.2029362852573-π/2
    2.4058725705146-1.57079632675     		φ = 0.83507624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01486044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.851440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83507624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.846344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32613 KachelY 22823 -0.01486044 0.83507624 -0.851440 47.846344
    Oben rechts KachelX + 1 32614 KachelY 22823 -0.01476457 0.83507624 -0.845948 47.846344
    Unten links KachelX 32613 KachelY + 1 22824 -0.01486044 0.83501190 -0.851440 47.842658
    Unten rechts KachelX + 1 32614 KachelY + 1 22824 -0.01476457 0.83501190 -0.845948 47.842658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83507624-0.83501190) × R
    6.43399999999961e-05 × 6371000     		dl = 409.910139999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83507624-0.83501190) × R
    6.43399999999961e-05 × 6371000     		dr = 409.910139999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01486044--0.01476457) × cos(0.83507624) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.67112116426322 × 6371000     		do = 409.912599320142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01486044--0.01476457) × cos(0.83501190) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.67116886118383 × 6371000     		du = 409.941732015917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83507624)-sin(0.83501190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67112116426322-0.67116886118383)×R²
    abs(-0.01476457--0.01486044)×4.76969206101296e-05×R²
    9.58700000000014e-05×4.76969206101296e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×4.76969206101296e-05×40589641000000     		ar = 168033.301926608m²