Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32612 / 22828
↖ ↑ ↗
← N 47.827908°
W  0.856933°		 ← 410.06 m → N 47.827908°
W  0.851440°		 →
↑
410.10 m
↓
↑
410.10 m
↓
N 47.824220°
W  0.856933°		 ← 410.09 m →
168 171 m²		 N 47.824220°
W  0.851440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497627258300781 y=0.348335266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497627258300781 × 216)
    floor (0.497627258300781 × 65536)
    floor (32612.5)     		tx = 32612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348335266113281 × 216)
    floor (0.348335266113281 × 65536)
    floor (22828.5)     		ty = 22828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32612 / 22828 ti = "16/32612/22828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32612/22828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32612 ÷ 216
    32612 ÷ 65536     		x = 0.49761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22828 ÷ 216
    22828 ÷ 65536     		y = 0.34832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01495631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34832763671875 × 2 - 1) × π
    0.3033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.952985564446716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01495631} λ = -0.01495631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952985564446716))-π/2
    2×atan(2.59344099760576)-π/2
    2×1.20277539933526-π/2
    2.40555079867053-1.57079632675     		φ = 0.83475447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01495631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.856933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83475447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.827908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32612 KachelY 22828 -0.01495631 0.83475447 -0.856933 47.827908
    Oben rechts KachelX + 1 32613 KachelY 22828 -0.01486044 0.83475447 -0.851440 47.827908
    Unten links KachelX 32612 KachelY + 1 22829 -0.01495631 0.83469010 -0.856933 47.824220
    Unten rechts KachelX + 1 32613 KachelY + 1 22829 -0.01486044 0.83469010 -0.851440 47.824220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83475447-0.83469010) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dl = 410.101270000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83475447-0.83469010) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dr = 410.101270000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01495631--0.01486044) × cos(0.83475447) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.671359672959571 × 6371000     		do = 410.058277514904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01495631--0.01486044) × cos(0.83469010) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.671407378215865 × 6371000     		du = 410.087415302013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83475447)-sin(0.83469010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671359672959571-0.671407378215865)×R²
    abs(-0.01486044--0.01495631)×4.77052562940505e-05×R²
    9.58699999999996e-05×4.77052562940505e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×4.77052562940505e-05×40589641000000     		ar = 168171.395162857m²